\section{\index{Transition|(}Transition}
\index{Transition!Wahrscheinlichkeit|(}
\index{Wahrscheinlichkeit|(}

Hier werden die Wahrscheinlichkeit f"ur die einzelnen Transitionen ($t_i$) bei einem Knoten mit $n_p$ positiven und $n_n$ negativen \index{Punkt!Nachbarpunkt}Nachbarpunkten aufgestellt.
Dabei ist die Anzahl der m"oglichen Auswahlen von Nachbarpunkten insgesamt $n_a=n_p+n_n+1$ (inklusive dem Punkt selbst).

Die Wahrscheinlichkeiten f"ur die verschiedenen Transitionen $t_i$ h"angen von den Anzahlen der Nachbarpunkten der Arten eines Punktes ab. Wird die Transition $t_i$ auf einen Entstehungspunkt mit $n_p$ positiven und $n_n$ negativen Nachbarpunkten ausgef"uhrt, wird daf"ur $t_i(n_p,n_n)$ geschrieben. Bei Funktionen $f$, die auf die Transition $t_i(n_p,n_n)$ Bezug nehmen, wird $f(t_i,n_p,n_n)$ geschrieben. Sind die Anzahl der Nachbarpunkten aus dem Kontext ersichtlich oder "uberfl"ussig, werden sie weggelassen (also z.B. dann nur $f(t_i)$).

Die Wahrscheinlichkeit $p(t_i)$ f"ur die Transition $t_i$ ist jeweils das Produkt der Wahrscheinlichkeiten, dass der Zielpunkt f"ur die entstehende positive und negative Distanz die f"ur die Transition ben"otigte Eigenschaft aufweist. Bei der Transition $t_5$ hei"st dies Beispielsweise, dass die entstehende positive Distanz zu einem Nachbarpunkt ($p_1$) geht, der mit dem Entstehungspunkt ($p_2$) durch mindestens eine positive Distanz verbunden ist, daf"ur ist die Wahrscheinlichkeit $n_p/n_a$, und die entstehende negative Distanz zu einem neuem Punkt ($p_3=p_n$) geht, daf"ur ist die Wahrscheinlichkeit $1/n_a$ . So ergibt sich das Produkt dieser beiden Wahrscheinlichkeiten zu $p(t_5,n_p,n_n)=\frac{n_p}{n_a}*\frac{1}{n_a}=\frac{n_p}{n_a^2}$ .

\bigskip\noindent
Transitionswahrscheinlichkeit:
\begin{eqnarray}
	n_a &=& n_p + n_n +1\\
	p(t_1,n_p,n_n) &=& \left(\frac{n_p}{n_a}\right)^2\\
	p(t_4,n_p,n_n) &=& \left(\frac{n_n}{n_a}\right)^2\\
	p(t_2,n_p,n_n) &=& \frac{n_p n_n}{n_a^2}\\
	p(t_3,n_p,n_n) &=& \frac{n_p n_n}{n_a^2}\\
	p(t_5,n_p,n_n) &=& \frac{n_p}{n_a^2}\\
	p(t_6,n_p,n_n) &=& \frac{n_p}{n_a^2}\\
	p(t_7,n_p,n_n) &=& \frac{n_n}{n_a^2}\\
	p(t_8,n_p,n_n) &=& \frac{n_n}{n_a^2}\\
	p(t_9,n_p,n_n) &=& \frac{1}{n_a}*\frac{1}{n_a} = \frac{1}{n_a^2}
\end{eqnarray}

\subsection{"Anderung der Anzahl der Distanzen}
\index{Distanz!Entstehung}
\index{Distanz!Vernichtung}

In den Transitionen $t_2$, $t_5$, $t_8$ und $t_9$ wird eine \index{Distanz!Nulldistanz}Nulldistanz zu zwei neuen zus"atzlichen Distanzen aufgespalten, damit k"onnen nur in ihnen neue Distanzen entstehen. Der Fall $t_{neu}$ ist die Vereinigung der Transitionen, bei denen neue Distanzen entstehen, und damit ist $p(t_{neu})$ die Wahrscheinlichkeit f"ur diesen Fall.

Nur in Transition $t_3$ werden zwei positive und negative Distanzen zu Nulldistanzen vereinigt, ohne das gleich viele neue Distanzen entstehen. In diesem Fall ($t_{del}$) werden damit Distanzen gel"oscht (deleted) bzw. die Distanzanzahl verringert, damit ist $t_3=t_{del}$.

\begin{eqnarray}
	t_{neu} &=& t_2 \cup t_5 \cup t_8 \cup t_9 \\
	p(t_{neu},n_p,n_n) &=& \frac{n_p n_n+n_p+n_n+1}{n_a^2}=\frac{(n_p+1) (n_n+1)}{n_a^2}\\
	p(t_{del},n_p,n_n) &=& p(t_3,n_p,n_n)=\frac{n_p n_n}{n_a^2}
\end{eqnarray}

Da bei jeden der beiden F"alle $p(t_{neu})$ und $p(t_{del})$ jeweils ein Distanzenpaar, also eine positive und eine negative Distanz, mehr entsteht bzw. gel"oscht wird, entspricht die durchschnittliche zu erwartende Zunahme bzw. Abnahme der Distanzen pro Art und Transition jeweils den Wahrscheinlichkeiten. Daraus folgt, es entstehen im Durchschnitt $\bar n_{neu}=p(t_{neu})$ neue positive und neue negative Distanzen und es werden im Durchschnitt $\bar n_{del}=p(t_{del})$ positive und negative Distanzen gel"oscht. Damit ergibt sich der durchschnittliche Zuwachs an Distanzen $\bar n_{net}$ zu:

\begin{eqnarray}
	\bar n_{net}(n_p,n_n) &=&\bar n_{neu}(n_p,n_n)-\bar n_{del}(n_p,n_n)= \frac{n_p n_n+n_p+n_n+1-n_p n_n}{n_a^2} \nonumber\\
	\bar n_{net}(n_p,n_n) &=& \frac{n_p+n_n+1}{n_a^2}=\frac{n_a}{n_a^2}=\frac{1}{n_a}
\end{eqnarray}

\subsection{"Anderung der Anzahl der Punkte}
\index{Punkt!Entstehung}

Nicht nur die Anzahl der Distanzen im Universum kann sich ver"andern, sondern auch die Anzahl der Punkte. 
Leider kann mit den aufgestellten Transitionen nur festgestellt werden, ob ein neuer Punkt entsteht ($t_{p-neu}$), und nicht, ob Punkte verschwinden k"onnen (bzw. nicht mehr betrachtet werden m"ussen), daf"ur ist die Betrachtung der Anzahlen der Distanzen zu den Nachbarpunkte, zu denen die neu entstehenden Distanzen gehen, notwendig.
Der Fall $t_{p-neu}$, dass neue Punkte entstehen, ist bei den Transition $t_5$, $t_6$, $t_7$, $t_8$ und $t_9$ gegeben, wobei bei der Transition $t_9$ sogar zwei neue Punkte entstehen.

\index{Raumuniversum!Zusammenhang}
Im Fall $t_{p-del*}$ bei den Transitionen $t_3$, $t_6$ und $t_7$ besteht die M"oglichkeit, dass Punkte nach ihnen nicht mehr miteinander (auch "uber andere Punkte) verbunden sind und so nie mehr miteinander verbunden sind. Dies ist um so wahrscheinlicher, je weniger Distanzen die Punkte besitzen.

\begin{eqnarray}
	t_{p-neu} &=& t_5 \cup t_6 \cup t_7 \cup t_8 \cup t_9 \\
	p(t_{p-neu},n_p,n_n) &=& 	 \frac{2 n_p+2 n_n+ 1}{n_a^2}=\frac{n_p+n_n+ n_a}{n_a^2}\\
	t_{p-del*} &=& t_3 \cup t_6 \cup t_7 \\
	p(t_{p-del*},n_p,n_n) &=&	\frac{n_p n_n+n_p+n_n}{n_a^2}
\end{eqnarray}
Da bei den Transitionen $t_5$, $t_6$, $t_7$ und $t_8$ ein neuer und bei der Transition $t_9$ zwei neue Punkte erzeugt werden, ist der Durchschnitt der neu gebildeten Punkte $\bar p_{neu}$ :

\begin{eqnarray}
	\bar p_{neu} &=& p(t_5) + p(t_6) + p(t_7) + p(t_8) + 2 p(t_9) \nonumber\\	
	\bar p_{neu} &=& \bar p_{neu\_t_5} + \bar p_{neu\_t_6} + \bar p_{neu\_t_7} + \bar p_{neu\_t_8} + \bar p_{neu\_t_9} \nonumber\\
	\bar p_{neu}(n_p,n_n) &=& \frac{2 n_a}{n_a^2}=\frac{2}{n_a}
\end{eqnarray}

\subsection{Ausbreitung}
\index{Distanz!Ausbreitung}

Bei den Transitionen $t_1$, $t_4$, $t_6$ und $t_7$ wird ein Endpunkt einer Distanz auf einen anderen Punkt verschoben bzw. zu einem anderen Punkt versetzt, das Distanzende breitet sich sozusagen im Raum aus. Der Fall $t_a$, in dem sich ein Distanzende ausbreitet, kann in zwei Unterarten aufgespalten werden. Bei der ersten Art $t_{ae}$, zu der die Transitionen $t_1$ und $t_4$ geh"oren, breitet sich das Ende durch das vorhandenen Raumuniversum aus. Bei der zweiten Art $t_{an}$, zu der Transition $t_6$ und $t_7$ geh"oren, wandert das Ende zu einem neu erzeugten Punkt.

\noindent
Es ist:
\begin{eqnarray}
	p(t_{ae},n_p,n_n) &=& p(t_1,n_p,n_n)+p(t_4,n_p,n_n)=\frac{n_p^2+n_n^2}{n_a^2}\\
	p(t_{an},n_p,n_n) &=& p(t_6,n_p,n_n)+p(t_7,n_p,n_n)=\frac{n_p+n_n}{n_a^2}\\
	p(t_a,n_p,n_n)&=& p(t_{ae},n_p,n_n)+p(t_{an},n_p,n_n)=\frac{n_p^2+n_n^2+n_p+n_n}{n_a^2}
\end{eqnarray}


\subsection{Symetrien}
\index{Transition!Symetrien}

Bez"uglich einer Operation $O_S$, welche die Punkte $p_1$ und $p_3$ und die Art der Distanzen vertauscht (positiv zu negativ und negativ zu positiv), hat jede Transition eine zu ihr symmetrische Transition.

\noindent
Es gilt:
\begin{eqnarray}
	O_S(t_1)&=&t_4 \quad O_S(t_4)=t_1\\
	O_S(t_5)&=&t_8 \quad O_S(t_8)=t_5\\
	O_S(t_6)&=&t_7 \quad O_S(t_7)=t_6\\
	O_S(t_2)&=&t_2\\
	O_S(t_3)&=&t_3\\
	O_S(t_9)&=&t_9
\end{eqnarray}
Wie zu sehen sind die Transitionen $t_2$, $t_3$ und $t_9$ zu sich selbst symmetrisch.

Wird die Operation $O_S$ zweimal auf eine Transition angewendet, ergibt sich wieder die urspr"ungliche Transition ( $O_S(O_S(t_i))=t_i \quad i=1 \ldots 9$ ). Die Operation $O_S$ ist damit ihre eigene Umkehroperation. 


\clearpage
\subsection{Verhalten der Transitionsfunktionen}
\index{Transition!Verhalten|(}\index{Transition!Graph|(}

In diesem Abschnitt werden die bisher aufgef"uhrten Transitionsfunktionen f"ur Wahrscheinlichkeiten und Durchschnitt genauer untersucht.

In den Diagrammen wirkt sich die Anwendung der $O_S$-Operation auf die zugrunde liegende Transition so aus, dass die beiden Achsenparameter vertauscht werden (aus der Achse f"ur die Anzahl der positive Nachbarpunkten wird die f"ur negative und andersherum). Bei den Wahrscheinlichkeitsfunktionen bewirkt die $O_S$-Operation, dass die Parameter f"ur die beiden Distanzarten vertauscht werden ($n_n$ zu $n_p$ und andersherum, ein $n_a$ Term muss dabei nicht ver"andert werden, denn $n_n+n_p+1=n_p+n_n+1$) . Wenn die Funktion symmetrisch zu $n_p=n_n$ ist, hat die $O_S$-Operation keinen Einfluss auf sie.

\begin{figure}[htb]
	\centering
		\includegraphics[scale=0.5,angle=270]{./Bilder/Transitionen/pT4.ps}
	\caption{Wahrscheinlichkeit f"ur die Transitionen $O_S(t_1)$ und $t_4$}
	\label{fig:pT4}
\end{figure}

Abbildung \ref{fig:pT4} zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung ($p(O_S(t_1(n_p,n_n)))=p(t_4,n_p,n_n)=\left(\frac{n_n}{n_a}\right)^2$) f"ur die Transition $O_S(t_1)$ bzw. $t_4$ . Diese Transitionen realisiert eine \index{Distanz!Ausbreitung}Versetzung eines Distanzendes zu einem Nachbarpunkt (Bewegung des Distanzendes). Danach ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Distanzende bewegt wird, um so h"oher, um so mehr Nachbarpunkte der gleichen Art vorhanden sind und um so weniger Nachbarpunkte der anderen Art vorhanden sind. In einem \index{Raumuniversum!reiner Teil}reinen Teilraumuniversum, in dem Distanzen bzw. Nachbarpunkte nur einer Art vorhanden sind, steigt die Wahrscheinlichkeit mit der Nachbaranzahl schnell gegen Eins. Daraus folgt, dass in reinen Teilraumuniversen mit h"oherer Nachbarpunktdichte, fast nur noch Bewegungen von Distanzenden erfolgen. Wenn die Reinheit des Teilraumuniversum abnimmt (bzw. um so mehr die Nachbarpunktarten vermischt sind), nimmt auch die Wahrscheinlichkeit f"ur eine Bewegung der Distanzenden zu Nachbarpunkten ab.

Die Grenzwerte sind $\lim_{n_n \to \infty}\left(\frac{n_n}{n_a}\right)^2=1$ und $\lim_{n_p \to \infty}\left(\frac{n_n}{n_a}\right)^2=0$ , jeweils f"ur konstantes $n_p$ bzw. $n_n$. Wird $n_p=c n_n$ gesetzt, wenn also das Verh"altnis der Anzahl der Distanz der Arten zueinander konstant ist, ist $\lim_{n_n \to \infty}\left(\frac{n_n}{n_n+c n_n+1}\right)^2=lim_{n_n \to \infty}\left(\frac{n_n}{(c+1) n_n+1}\right)^2=lim_{n_n \to \infty}\left(\frac{n_n}{(c+1) n_n}\right)^2=\left(\frac{1}{c+1}\right)^2$ .

Die H"ohenlinie f"ur die konstante Wahrscheinlichkeit $p$ verl"auft dabei nach der Funktion: $n_n=\frac{n_p}{1-p}+\frac{1}{1-p}=\frac{n_p+1}{1-p}$ . Die H"ohenlinien sind demnach Geraden (in der Distanzanzahlenebene) mit dem Anstieg $\frac{1}{1-p}$, welche die $n_n$-Achse bei $\frac{1}{1-p}$ schneiden.


\begin{figure}[htb]
	\centering
		\includegraphics[scale=0.5,angle=270]{./Bilder/Transitionen/pT2.ps}
	\caption{Wahrscheinlichkeit f"ur die Transitionen $t_2$, $t_3$ und daf"ur, dass eine Distanz von jeder Art gel"oscht wird $t_{del}$}
	\label{fig:pT2}
\end{figure}

Abbildung \ref{fig:pT2} zeigt die Wahrscheinlichkeit f"ur die Transitionen $t_2$, $t_3$ und daf"ur, dass eine Distanz von jeder Art \index{Distanz!Vernichtung}gel"oscht wird $t_{del}$ ($p(t_2,n_p,n_n)=p(t_3,n_p,n_n)=p(t_{del},n_p,n_n)=\frac{n_p n_n}{n_a^2}$). Die Funktion ist symmetrisch zu $n_p=n_n$, da $n_p$ und $n_n$ vertauscht werden k"onnen ohne die Funktion zu "andern. 
Ist die Anzahl einer Nachbarpunktart nahe 0 ist auch die Wahrscheinlichkeit nahe 0.

Der Maximalwert der Funktion ist $0.25$, da f"ur $n_n=n_p$ der Grenzwert 
\[ lim_{n_n \to \infty} \frac{n_p n_p}{(n_p+n_p+1)^2} = lim_{n_n \to \infty} \frac{n_p^2}{4 n_p^2+4 n_p+1} = \frac{1}{4} \]
ist und die Funktion immer kleiner gleich $\frac{1}{4}$ ist ($p(t_2) \leq \frac{1}{4}$).

\noindent
Beweis:
\begin{eqnarray*}
	\frac{1}{4}& \geq & \frac{n_p n_n}{(n_p+n_n+1)^2}\\
	\frac{1}{4}& \geq & \frac{n_p n_n}{n_p^2+n_n^2+2 n_p n_n+2 n_p + 2 n_n +1} \quad \mid *4(n_p^2+n_n^2+\ldots +1)\\
%	n_p*n_n & \geq & \frac{1}{4} n_p^2+\frac{1}{4} n_n^2+\frac{1}{2} n_p n_n+\frac{1}{2} n_p + \frac{1}{2} n_n +\frac{1}{4}  \quad \mid *4 \\
	4 n_p n_n & \leq & n_p^2+n_n^2+2 n_p n_n+2 n_p + 2 n_n +1 \quad \mid -4 n_p n_n\\
	0 & \leq & n_p^2-2 n_p n_n+n_n^2+2 n_p + 2 n_n +1 \\
	0 & \leq & (n_p-n_n)^2+2 n_p + 2 n_n +1 \quad w.z.b.w
\end{eqnarray*}
Da die beiden Funktionen $p(t_2)$ und $p(t_3)$ identisch sind, ist der Maximalwert, den die Summe der beiden Funktionen ($p(t_2)+p(t_3)$) einnehmen kann, gleich $0.5$.

\bigskip\noindent
Den bisher behandelten Transitionen $t_1$, $t_4$, $t_2$ und $t_3$ ist allen gemeinsam, dass sie auf Distanzen und Punkten im vorhandenen Raumuniversum arbeitet und keine neuen Punkte erzeugen. Nur mit der Transition $t_3$ k"onnen von \index{Raumuniversum!Zusammenhang}Raumuniversum Teile getrennt werden, aber auch dies ist in Teilen des Raumuniversums, in denen viele Distanzen existieren, unwahrscheinlich. Weiterhin kann die Transition $t_3$ den \index{Raumuniversum!Ausdehnung}Abstand zwischen Teilen erh"ohen. 

\noindent
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist:

\begin{eqnarray*}
p(t_1,n_p,n_n)+p(t_4,n_p,n_n)+p(t_2,n_p,n_n)+p(t_3,n_p,n_n)&=&\frac{n_n^2+n_p^2+2n_p n_n}{n_a^2}\\
	&=&\frac{(n_n+n_p)^2}{(n_n+n_p+1)^2}
\end{eqnarray*}
Wenn die Anzahl der Nachbarpunkte einer Art gegen unendlich geht, geht, unabh"angig von der Anzahl der Distanzen der anderen Art, die Wahrscheinlichkeitssumme $p(t_1)+p(t_4)+p(t_2)+p(t_3)$ gegen Eins. ($lim_{n_n \to \infty}(p(t_1)+p(t_4)+p(t_2)+p(t_3)) = lim_{n_p \to \infty}(p(t_1)+p(t_4)+p(t_2)+p(t_3))=1 $) 
Diese Transitionen beherrschen in Universumsteilen mit vielen Nachbarpunkten pro Punkt das Transitionsgeschehen bzw. die Vorg"ange in dem Universumsteilen.

\clearpage
\begin{figure}[htb]
	\centering
		\includegraphics[scale=0.5,angle=270]{./Bilder/Transitionen/pT7.ps}
	\caption{Wahrscheinlichkeit f"ur die Transitionen $O_S(t_5)$, $O_S(t_6)$, $t_7$ und $t_8$} 
	\label{fig:pT7}
\end{figure}

Die Abbildung \ref{fig:pT7} zeigt die Wahrscheinlichkeit f"ur Transition $O_S(t_5)$, $O_S(t_6)$, $t_7$ und $t_8$ .

\noindent
($p(O_S(t_5(n_p,n_n)))=p(O_S(t_6(n_p,n_n)))=p(t_7,n_p,n_n)=p(t_8,n_p,n_n)=\frac{n_n}{n_a^2}$) Alle diesen Transitionen ist gemeinsam, dass sie einen \index{Punkt!Entstehung}neuen Punkt erzeugen. Desweiteren ist der Grenzwert f"ur $n_p$ und $n_n$ gegen Unendlich gleich 0.

\noindent
($lim_{n_p \to \infty}p(t_7)= lim_{n_n \to \infty}p(t_7)= 0$) 
Mit zunehmender Anzahl von Nachbarpunkte geht die Wahrscheinlichkeit also immer gegen 0 . Der Maximalwert der Wahrscheinlichkeitsfunktionen ist $0.25$ und liegt bei $n_p=0$ und $n_n=1$ ($p(t_5,1,0)=p(t_6,1,0)=p(t_7,0,1)=p(t_8,0,1)=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$). In allen Richtungen vom Punkt $n_p=0$ und $n_n=1$ ausgehend nimmt die Wahrscheinlichkeit stark ab.

\clearpage

\begin{figure}[htb]
	\centering
		\includegraphics[scale=0.5,angle=270]{./Bilder/Transitionen/pT9.ps}
	\caption{Wahrscheinlichkeit f"ur Transition $t_9$}
	\label{fig:pT9}
\end{figure}

Abbildung \ref{fig:pT9} zeigt die Wahrscheinlichkeit f"ur Transition $t_9$ ($p(t_9,n_p,n_n) = \frac{1}{n_a^2}$), oder dass eine neue Distanz jeder Art und zwei \index{Punkt!Entstehung}neue Punkte entstehen. Diese Kurve ist symmetrisch zu $n_p=n_n$ und zeigt einen starken Abfall (vom Koordinatenursprung ausgehend) mit Zunahme der Anzahl der Nachbarpunkte. Um so mehr Nachbarpunkte ein Punkt hat, um so unwahrscheinlicher wird Transition $t_9$ . Wenn allerdings ein Punkt keine Nachbarpunkte hat, wird auf dem Punkt immer Transition $t_9$ ausgef"uhrt, ihre Wahrscheinlichkeit ist deshalb im Ursprung 1 (Maximum im Koordinatenursprung $p(t_9,0,0)=1$). Dies f"uhrt dazu, dass ein leerer Teil des Raumuniversums (er enth"alt nur einen (imagin"aren) Punkt), wenn eine Transition auf ihm ausgef"uhrt wird, immer expandiert.

\clearpage

\begin{figure}[htb]
	\centering
		\includegraphics[scale=0.5,angle=270]{./Bilder/Transitionen/pTnew.ps}
	\caption{Wahrscheinlichkeit $p(t_{neu})$ f"ur das Entstehen eines Distanzpaars}
	\label{fig:pTnew}
\end{figure}

\index{Distanz!Entstehung|(}
Abbildung \ref{fig:pTnew} zeigt die Wahrscheinlichkeit ($p(t_{neu},n_p,n_n) = \frac{(n_p+1)*(n_n+1)}{n_a^2}$) f"ur das Entstehen einer neuen Distanz jeder Art (Distanzen k"onnen nur paarweise entstehen oder gel"oscht werden).
Sie ist die Summe der Transitionswahrscheinlichkeiten der Transition $t_2$, $t_5$, $t_8$ und $t_9$ ($t_{neu} = t_2 \cup t_5 \cup t_8 \cup t_9$).
Auch diese Kurve ist symmetrisch zu $n_p=n_n$, da in der Formel $n_n$ und $n_p$ ohne Auswirkungen gegeneinander vertauscht werden k"onnen.

\noindent
F"ur $n_n=c n_p$ ist der Grenzwert:
\begin{eqnarray*}
 lim_{n_p \to \infty}p(t_{neu},n_p,c n_p) &=& lim_{n_p \to \infty}\frac{(n_p+1)*(c n_p+1)}{(n_p+c n_p+1)^2}\\
 &=& lim_{n_p \to \infty}\frac{c n_p^2+c n_p+n_p+1}{((c+1)n_p+1)^2}\\
 &=& lim_{n_p \to \infty}\frac{c n_p^2+c n_p+n_p+1}{(c+1)^2 n_p^2+2(c+1)n_p+1}\\
 &=&lim_{n_p \to \infty}\frac{c n_p^2}{(c+1)^2 n_p^2}=\frac{c}{(c+1)^2}
\end{eqnarray*}
Damit liegt der Maximalegrenzwert bei $n_p=n_n$ ($c=1$) und ist gleich $1/4$.

Der Maximalwert der Funktion liegt bei $n_p=n_n=0$ und ist Eins ($p(t_{neu},0,0)=1$), in einem leerer Teil des Raumuniversums entsteht, wie schon gesagt, immer ein neues Dis\-tanzen\-paar. F"ur $n_p$ und $n_n$ gr"o"ser F"unf ist $p(t_{neu})$ kleiner $0.3$ ($n_p>5 \wedge n_n>5 \Rightarrow p(t_{neu})<0.3$).

\clearpage
\begin{figure}[htb]
	\centering
		\includegraphics[scale=0.5,angle=270]{./Bilder/Transitionen/avDistGrow.ps}
	\caption{Durchschnittliche Distanzen"anderung $n_{net}$ der einzelnen Distanzarten}
	\label{fig:avDistGrow}
\end{figure}

\index{Distanz!Vernichtung|(}
Abbildung \ref{fig:avDistGrow} zeigt die durchschnittliche Distanz"anderung einer Art Distanzen bei einer Transition ($\bar n_{net}(n_p,n_n) =\frac{1}{n_a}$). Da bei den Transitionen $t_2$, $t_5$, $t_8$ und $t_9$ ($t_{neu}$) jeweils eine Distanz entsteht und bei der Transition $t_3$ ($=t_{del}$) eine Distanz gel"oscht wird, sind die jeweils entstehenden durchschnittlichen Distanzen pro Transition gleich den entsprechenden Transitionswahrscheinlichkeiten, wobei die Wahrscheinlichkeit der Transition $t_3$ negiert wird ($\bar n_{net\_t_3}=-p(t_3)$). Die Summe dieser Durchschnitte ist gleich die durchschnittliche Distanz"anderung bei einer Transition ($\bar n_{net}= \bar n_{net\_t_2}+\bar n_{net\_t_5}+\bar n_{net\_t_8}+\bar n_{net\_t_9}+\bar n_{net\_t_3}=p(t_2)+p(t_5)+p(t_8)+p(t_9)-p(t_3)$).

Da die Distanzen, die im Durchschnitt bei Transitionen $t_2$ entstehen, durch die Distanzen, die in Durchschnitt bei der Transition $t_3$ gel"oscht werden, aufgehoben werden (da $t_2=O_S(t_3)$ und $\bar n_{net\_t_2}=-\bar n_{net\_t_3}$), tragen diese beiden Transitionen ($t_2$ und $t_3$) zusammen nichts zur durchschnittlichen Distanz"anderung bei ($\bar n_{net}=p(t_5)+p(t_8)+p(t_9)$).

Wie in Abbildung \ref{fig:avDistGrow} zu sehen nimmt die durchschnittliche Distanz"anderung $\bar n_{net}$ pro Transition mit Zunahme der Anzahl von Nachbarpunkten ab. Um so h"oher also die Anzahl der Nachbarpunkte bei einem Punkt ist, um so geringer f"allt die durchschnittliche Zuname der Distanzen aus. Wenn es keine Nachbarpunkte bzw. Distanzen gibt (im leeren Raumuniversenteilen) entsteht immer ein neues Distanzenpaar, bzw. die Anzahl von Distanzen kann dann nur zunehmen. Der Grenzwert f"ur $n_p$ oder $n_n$ gegen Unendlich ist immer 0 ($lim_{n_p \to \infty}\bar n_{net}=lim_{n_n \to \infty}\bar n_{net}=0$). Die Funktion $\bar n_{net}$ ist symmetrisch zu $n_p=n_n$.

Fraglich ist wie sich dieses Verhalten (von $\bar n_{net}$) auf Raumuniversen auswirkt, denn eine hohe Nachbarpunktzahl pro Punkt im Raumuniversum muss nicht bedeuten, dass alle Punkte viele Nachbarpunkte haben. Es ist auch ein fussliger Teil eines Raumuniversums denkbar, in dem von den Punkten, die Nachbarpunkt vieler Punkte sind, ein Teil der Distanzen zu Punkten f"uhrt, die nicht weiter Nachbarpunkte haben. Distanzen zu diesen einsamen Punkte ragen aus dem Dicht verbundenen Teil des Raumuniversums heraus. An solchen einsammen Punkten ist dann nat"urlich die durchschnittliche Distanz"anderung ($\bar n_{net}$) sehr hoch.

Abbildung \ref{fig:avDistGrow} zusammen mit Abbildung \ref{fig:pTnew} zeigt, dass in Teilen vom Universum, in denen die Punkt mit viele Nachbarpunkten verbunden sind, die gemischt auftreten, also in \index{Raumuniversum!reiner Teil}unreinen Teilen, die Anzahl der Distanzen sich durchaus lokal "andert, es aber keine gro"se durchschnittliche Distanz"anderung gibt.
\index{Distanz!Vernichtung|)}
\index{Distanz!Entstehung|)}

\index{Punkt!Entstehung|(}
\begin{figure}[htb]
	\centering
		\includegraphics[scale=0.5,angle=270]{./Bilder/Transitionen/pTp_neu.ps}
	\caption{Wahrscheinlichkeit $p(t_{p-neu})$ das neue Punkte entstehen}
	\label{fig:pTpneu}
\end{figure}

Abbildung \ref{fig:pTpneu} zeigt die Wahrscheinlichkeit $p(t_{p-neu})$, dass neue Punkte bei einer Transition entstehen ($p(t_{p-neu},n_p,n_n) =\frac{n_p+n_n+ n_a}{n_a^2}$). Diese entspricht auch der Wahrscheinlichkeit, dass neue \index{Distanz!Fussel}Fusseln entstehen.

Die Wahrscheinlichkeit $p(t_{p-neu})$ ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Transitionen $t_5$, $t_6$, $t_7$, $t_8$ und $t_9$ ($t_{p-neu} = t_5 \cup t_6 \cup t_7 \cup t_8 \cup t_9$). Die Wahrscheinlichkeitsfunktion $p(t_{p-neu})$ hat bei $n_p=n_n=0$ sein Maximum der H"ohe 1 ($p(t_{p-neu},0,0)=1$). Mit zunehmender Anzahl von Nachbarpunkten eines Punktes nehmen die Werte von $p(t_{p-neu})$ ab und gehen gegen 0 ($lim_{n_p \to \infty}p(t_{p-neu})=lim_{n_n \to \infty}p(t_{p-neu})=0$). Die Funktion $p(t_{p-neu})$ ist symmetrisch zu $n_p=n_n$.


\clearpage
\begin{figure}[htb]
	\centering
		\includegraphics[scale=0.5,angle=270]{./Bilder/Transitionen/avNewPoints.ps}
	\caption{Durchschnittliche neue Punkte $\bar p_{neu}$}
	\label{fig:avNewPoints}
\end{figure}

Abbildung \ref{fig:avNewPoints} zeigt die durchschnittliche Anzahl $\bar p_{neu}$ der neuen Punkte die bei einer Transition entstehen ($\bar p_{neu}(n_p,n_n) =\frac{2}{n_a}$). Da bei der Transition $t_9$ zwei Punkte entstehen, ist der Maximalwert dieser Kurve Zwei ($\bar p_{neu}(0,0)=2$). In den Durchschnitt $\bar p_{neu}$ flie"st die Wahrscheinlichkeit $p_{neu\_t_9}$ der Transition $t_9$ doppelt ein ($\bar p_{neu} =p(t_5) + p(t_6) + p(t_7) + p(t_8) + 2 p(t_9)= \bar p_{neu\_t_5} + \bar p_{neu\_t_6} + \bar p_{neu\_t_7} + \bar p_{neu\_t_8} + \bar p_{neu\_t_9}=\frac{2}{n_a}$). Mit zunehmender Anzahl von Nachbarpunkten nimmt die Kurve monoton ab und geht gegen 0 (der Grenzwert $n_p$ bzw. $n_n$ gegen Unendliche ist immer 0; $lim_{n_p \to \infty}\bar p_{neu}=  lim_{n_n \to \infty} \bar p_{neu} =0$). Die Werte der Funktion $\bar p_{neu}$ sind dabei genau doppelt so hoch, wie die Werte der Funktion $\bar n_{net}$ aus Abbildung \ref{fig:avDistGrow} f"ur die durchschnittliche Distanz"anderung.

Die durchschnittliche Anzahl $\bar p_{neu}$ der neuen Punkte ist auch die durchschnittliche Anzahl der neu entstehenden \index{Distanz!Fussel}Fussel. Danach entstehen Fussel besonders h"aufig, wenn die Anzahl der Nachbarpunkte gering ist. Zusammen mit der durchschnittlichen Distanz"anderung aus Abbildung \ref{fig:avDistGrow} l"asst dies folgern, dass bei geringer Anzahl von Nachbarpunkten (z.B. an Fusselenden) die Expansion (Zuname von Distanzen und Punkte) besonders hoch ist.
\index{Punkt!Entstehung|)}

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\index{Raumuniversum!Zusammenhang|(}
\begin{figure}[htb]
	\centering
		\includegraphics[scale=0.5,angle=270]{./Bilder/Transitionen/pTp_del.ps}
	\caption{Wahrscheinlichkeit $p(t_{p-del*})$ das Punkte vereinsamen k"onnen}
	\label{fig:pTpdel}
\end{figure}

In Abbildung \ref{fig:pTpdel} ist die Wahrscheinlichkeit $p(t_{p-del*})$ zu sehen, dass Punkte bei einer Transition vereinsamen bzw. vom Rest des Universums abgeschnitten werden k"onnen ($p(t_{p-del*},n_p,n_n) =	\frac{n_p n_n+n_p+n_n}{n_a^2}$). Es ist die Wahrscheinlichkeit, mit der bei einer Transition eine \index{Distanz!Vernichtung}Distanz, welche zwei Punkte verbindet, gel"oscht wird. Wenn die Punkte nur durch einen \index{Distanz!Fussel}Fussel (bzw. die Distanz die gel"oscht wurde) verbunden waren, wird der zusammenh"angende Teil des Raumuniversums, in dem der Fussel sich befindet bzw. die Distanz gel"oscht wird, in zwei zusammenh"angende Teile aufgespalten. Wenn ein Punkt der beiden ein Fusselende war, vereinsamt er bzw. wird vom Rest des Universums abgeschnitten und kann aus der Betrachtung gel"oscht werden, da er sich genauso entwickelt, wie das \index{Anfangsraumuniversum}Anfangsraumuniversum. Bei gro"sen Anzahlen von Distanzen ist nat"urlich die Wahrscheinlichkeit, dass eine gew"ahlte Distanz ein \index{Distanz!Fussel}Fussel ist, gering, daher d"urften auch die "`Abschneidungsprozesse"' seltener vorkommen.

Die Wahrscheinlichkeit $p(t_{p-del*})$ ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten f"ur die Transitionen $t_3$, $t_6$ und $t_7$ .


\noindent
F"ur $n_n=c n_p$ ist der Grenzwert:
\begin{eqnarray*}
 lim_{n_p \to \infty}p(t_{p-del*},n_p,c n_p) &=& lim_{n_p \to \infty}\frac{c n_p^2+n_p+c n_p}{(n_p+c n_p+1)^2}\\
 &=& lim_{n_p \to \infty}\frac{c n_p^2+n_p+c n_p}{((c+1)n_p+1)^2}\\
 &=& lim_{n_p \to \infty}\frac{c n_p^2+n_p+c n_p}{(c+1)^2 n_p^2+2(c+1)n_p+1}\\
 &=&lim_{n_p \to \infty}\frac{c n_p^2}{(c+1)^2 n_p^2}=\frac{c}{(c+1)^2}
\end{eqnarray*}
Diese Grenzwerte verhalten sich also genauso, wie f"ur die Wahrscheinlichkeit f"ur das entstehen einer neuen Distanz jeder Art $p(t_{neu},n_p,n_n)$. Allerdings kann die Wahrscheinlichkeit $p(t_{p-del*})$ h"ohere Werte als $1/4$ annehmen, denn das Maximum liegt bei $n_p=n_n=1$ und ist $\frac{1}{3}$ ($p(t_{p-neu},1,1)=\frac{1}{3}$). %??

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion $p(t_{p-del*})$ ist symmetrisch zu $n_p=n_n$, da $n_p$ und $n_n$ in der Formel gegeneinander vertauschbar sind, ohne die Formel zu "andern. 
Mit sinkender \index{Raumuniversum!reiner Teil}Durchmischung der Arten von Nachbarpunkten nimmt die Wahrscheinlichkeit $p(t_{p-del*})$ ab.
\index{Raumuniversum!Zusammenhang|)}

%\clearpage
\index{Distanz!Ausbreitung|(}
\begin{figure}[htb]
	\centering
		\includegraphics[scale=0.5,angle=270]{./Bilder/Transitionen/pTae.ps}
	\caption{Wahrscheinlichkeit $p(t_{ae})$ das ein Distanzende zwischen zwei existierenden Punkten bewegt wird}
	\label{fig:pTae}
\end{figure}

Abbildung \ref{fig:pTae} zeigt die Wahrscheinlichkeit $p(t_{ae})$, dass bei einer Transition ein Ende von einer Distanzen zwischen zwei existierenden Punkten bewegt wird ($p(t_{ae},n_p,n_n)=\frac{n_p^2+n_n^2}{n_a^2}$).
Die Wahrscheinlichkeit ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Transitionen $t_1$ und $t_4$ .
Auch die Wahrscheinlichkeitsfunktion $p(t_{ae})$ ist symmetrisch zu $n_p=n_n$, da $n_p$ und $n_n$ in der Formel ohne die Formel zu "andern gegeneinander vertauschbar sind.
Das Minimum der Funktion $p(t_{ae})$ liegt bei $n_p=n_n=0$ und ist 0 ($p(t_{ae},0,0)=0$).

\noindent
Zur Untersuchung des Grenzwertes wird $n_n=c n_p$ gesetzt, dann ist:
\begin{eqnarray*}
 lim_{n_p \to \infty}p(t_{neu},n_p,c n_p) &=& lim_{n_p \to \infty}\frac{n_p^2+c^2 n_p^2}{(n_p+c n_p+1)^2}\\
 &=& lim_{n_p \to \infty}\frac{(c^2+1)n_p^2}{(c^2+2c+1)n_p^2+2n_p+2c n_p+1}\\
 &=& lim_{n_p \to \infty}\frac{(c^2+1)n_p^2}{(c+1)^2 n_p^2+2n_p+2c n_p+1}
\end{eqnarray*}
Im Term $2n_p+2c n_p+1$ taucht $n_p$ nur einfach auf, deshalb ver"andert er den Grenzwert nicht. Damit folgt $lim_{n_p \to \infty} \frac{(c^2+1)}{(c+1)^2}$ .
Bei $c=0$ ist der Grenzwert 1 ($lim_{n_p \to \infty}p(t_{ae},n_p,0)=1$ und damit ist auch $lim_{n_n \to \infty}p(t_{ae},0,n_n)=1$).
Der minimale Grenzwertes liegt bei $c=1$ und ist $lim_{n_p \to \infty}p(t_{ae},n_p,n_p)=0.5$ . Um so mehr Nachbarpunkte vorhanden sind und um so weniger die beiden Arten von \index{Raumuniversum!reiner Teil}Nachbarpunkten vermischt sind, um so Wahrscheinlicher wird es, dass ein Distanzende im existierendem Raumuniversum verschoben wird.

Die Wahrscheinlichkeit $p(t_{ae})$ ist im Vergleich zu den anderen betrachteten Wahrscheinlichkeiten in den meisten Parameterbereichen von $n_p$ und $n_n$ relativ hoch. Wenn $n_p$ und $n_n$ gr"o"ser als F"unf sind, ist die Wahrscheinlichkeit $p(t_{ae})$ gr"o"ser als $0.4$ ($n_p>5 \wedge n_n>5 \Rightarrow p(t_{ae})>0.4$). In reinen Universen ist sie sogar nahe Eins. Die Bewegung von Distanzenden im existierenden Universum macht also einen Gro"steil der Vorg"ange in dichten Teilen des Universum aus.
\index{Distanz!Ausbreitung|)}


\begin{figure}[htb]
	\centering
		\includegraphics[scale=0.5,angle=270]{./Bilder/Transitionen/pTan.ps}
	\caption{Wahrscheinlichkeit $p(t_{an})$ das ein Distanzende zu einem neuen Punkte bewegt wird}
	\label{fig:pTan}
\end{figure}

Abbildung \ref{fig:pTan} zeigt die Wahrscheinlichkeit $p(t_{an})$ mit der bei einer Transition ein Distanzende von einem existierenden Punkt im Raumuniversum zu einem \index{Distanz!Fussel}neuen Punkt versetzt wird ($p(t_{an},n_p,n_n)=\frac{n_p+n_n}{n_a^2}$).
Die Wahrscheinlichkeit $p(t_{an})$ ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Transition $t_6$ und $t_7$ .

Auch diese Funktion $p(t_{an})$ ist symmetrisch zu $n_p=n_n$ . Die Werte die erreicht werden sind wesentlich geringer als bei der Funktion $p(t_{ae})$ . Ihre Maxima liegen bei $n_p=1;n_n=0$ und $n_p=0;n_n=1$ und sind $p(t_{an},1,0)=p(t_{an},0,1)=0.25$ . Der Grenzwert f"ur $n_p$ bzw. $n_n$ gegen unendlich ist immer 0 ($lim_{n_p \to \infty} p(t_{an})=lim_{n_n \to \infty} p(t_{an})=0$).

Nur in einem schmalen Abschnitt, in dem zwar Nachbarpunkte vorhanden sind, aber nicht so viele, dass zu selten neue Punkte erzeugt werden, zeigt die Wahrscheinlichkeit $p(t_{an})$ h"ohere Werte auf, sie gehen au"serhalb dieses Abschnittes schnell gegen 0 .

%\clearpage
\index{Distanz!Ausbreitung|(}
\begin{figure}[htb]
	\centering
		\includegraphics[scale=0.5,angle=270]{./Bilder/Transitionen/pTa.ps}
	\caption{Wahrscheinlichkeit $p(t_a)$ das eine Distanzende bewegt wird}
	\label{fig:pTa}
\end{figure}

Die Abbildung \ref{fig:pTa} zeigt die Wahrscheinlichkeit $p(t_a)$, dass eine Distanzende bei einer Transition bewegt bzw. versetzt wird ($p(t_a,n_p,n_n)= \frac{n_p^2+n_n^2+n_p+n_n}{n_a^2}$).
Sie setzt sich aus den F"allen $t_{ae}$ und $t_{an}$ zusammen, wobei der Fall $t_{ae}$ der Fall ist, welcher am st"arksten die Funktion $p(t_a)$ bestimmt.
F"ur die Symmetrie, die Grenzwerte, die Maxima und die Minima gilt das Gleiche wie f"ur die Kurve der Wahrscheinlichkeit $p(t_{ae})$ aus Abbildung \ref{fig:pTae}, da die Wahrscheinlichkeit $p(t_{an})$ keinen Einfluss auf diese Faktoren hat.
\index{Distanz!Ausbreitung|)}

\index{Transition!Verhalten|)}\index{Transition!Graph|)}

\bigskip\noindent
Insgesamt ergibt sich, im Hinblick auf Transitionen, folgendes Bild f"ur das \index{Universum}Universum.

Bei den Transitionen \index{Punkt!Entstehung}\index{Distanz!Entstehung}entstehen haupts"achlich bei geringer Anzahl von \index{Punkt!Nachbarpunkt}Nachbarpunkten neue Punkten und Distanzen. Bei mehr \index{Raumuniversum!reiner Teil}Nachbarpunkten ist die Durchmischung ausschlaggebend. Wenn eine Art von Nachbarpunkten stark "uberwiegt (in reinen Raum\-uni\-versums\-teilen) gibt es haupts"achlich \index{Distanz!Ausbreitung}Bewegungen von Distanzenden zwischen existierenden Punkten. Wenn die Arten von Nachbarpunkten durchmischt sind, ist dieser Fall auch sehr h"aufig (rund $50 \%$) aber auch die \index{Distanz!Entstehung}Entstehung und \index{Distanz!Vernichtung}Vernichtung von Distanzpaaren ist relativ Wahrscheinlich. Dabei enstehen ungef"ahr genausoviele Distanzen wie vernichtet werden, so dass sich die Prozesse gegeneinander aufheben und im Durchschnitt so gut wie keine neuen Distanzpaar entstehen. Die Wahrscheinlichkeiten der Entstehung und Vernichtung von Distanzen und der Bewegung von Distanzenden zusammen machen bei h"oheren Nachbarpunktenanzahlen fast $100 \%$ aus. Es entstehen also in diesen Bereichen so gut wie keine neuen Punkte oder Distanzen.

Fraglich ist der Einfluss von \index{Distanz!Fussel}Fussel und Fusselenden. Fusselenden sind in ansonsten dichten Bereichen (Bereichen mit vielen Nachbarpunkten) des Universums Orte an denen mit hoher Wahrscheinlichkeit neue Distanzen und Punkte entstehen. Die so neu entstehenden Distanzen und Punkte k"onnen in das Universum "`integriert"' bzw. aufgenommen werden, in dem zu der Fusseldistanz weitere Distanzen kommen, welche das ehemalige Fusselende mit dem Rest des Universums verbinden, oder "`abgesto"sen"' werden, indem der Fussel gel"oscht wird. Wenn Fusseln gel"oscht werden und \index{Raumuniversum!Zusammenhang}damit Teile vom Rest des Universums getrennt werden, kann dadurch in den getrennten Teilen ein Ungleichgewicht zwischen den Arten von Distanzen entstehen, in den einzelnen Teilen des Universums k"onnen dann unterschiedlich viele Anzahlen von Distanzen der Arten vorhanden sein.

\index{Wahrscheinlichkeit|)}
\index{Transition!Wahrscheinlichkeit|)}
\index{Transition|)}

