\section{L"osung}
\index{Grundlagen|(}\index{Distanz|(}\index{Distanz!Nulldistanz|(}\index{Distanz!Aufspaltung|(}\index{Distanz!Entstehung|(}\index{Punkt|(}

Die Theorie basiert darauf, dass es im Endeffekt nur Distanzen (bzw. Verbindungen, im Graphen Kanten) gibt. Punkte sind nur als Endpunkte von Distanzen zu sehen und damit nur ein Hilfskonstrukt f"ur Erkl"arungen. Es kann nicht wirklich eine neue Distanz entstehen, sondern es k"onnen sich nur Nulldistanzen aufspalten zu einer positiv ($+$) Distanz und einer negativ ($-$) Distanz, die zusammen eine Nulldistanz (also keine Distanz) ergeben. Zwei Punkte k"onnen nicht gleichzeitig durch positive und negative Distanz verbunden sein (sie heben sich zu einer Nulldistanz auf). Es gibt nur diese zwei Distanzen ($+$; $-$), um die Theorie m"oglichst einfach zu halten, die Nulldistanz ist eigentlich "`nichts"'.

\index{Punkt!Nachbarpunkt}
Nachbarpunkte sind Punkte die durch Distanzen verbunden sind. In gewisser weise ist jeder Punkt sein eigener Nachbar, da er mit sich selbst durch eine Null\-dis\-tanz verbunden ist.
Punkte sind die Orte an denen sich Nulldistanzen aufspalten. Wenn sich an einem Punkt eine Nulldistanz aufspaltet, ist der Punkt der \index{Entstehungspunkt}\index{Punkt!Entstehungspunkt}Entstehungspunkt der neuen Distanzen. Wobei beim Aufspalten einer Nulldistanzen (einer \index{Transition}Transition), die entstehenden Distanzen entweder zu Nachbarpunkten oder zu einem \index{Punkt!Entstehung}neuen Punkt gehen. Der neue Punkt ist der Entstehungspunkt selbst, der ja Nachbar zu sich selbst ist. Transitionen sind der einzige Grund f"ur die Nachbarschaftsbeziehung in der Theorie. 
Ein \index{Raumuniversum}Raumuniversum ist eine Menge von Distanzen (bei mehreren unterschiedliche Distanzen k"onnen die Endpunkte gleich sein). Solch ein Raumuniversum kann man sich als ungerichteten Graphen mit zwei Arten von Kanten (f"ur die positiven und negativen Distanzen) vorstellen.

Das \index{Anfangsraumuniversum}Anfangsraumuniversum des Universums ist ein leeres Raumuniversum in dem sich eine Nulldistanz aufspaltet. Dies ist m"oglich, da die Nulldistanz ja nichts ist. Es ist die Vorstellung m"oglich, dass sich in einem Raumuniversum auch an keinen Punkten Nulldistanzen aufspalten. Allerdings k"onnen nicht zusammenh"angende Teile eines Raumuniverums nie wieder zusammenh"angen, deshalb ist die Vorstellung, dass sich Distanzen nur an Punkten aufspalten, sinnvoll, da sie nur so Einfluss auf bestehende Teile des Raumuniversums haben k"onnen.

Im allgemeinen k"onnen verschiedene \index{Raumuniversum!Zusammenhang}zusammenh"angende Teile eines Raumuniversums separat betrachtet werden, da sie zuk"unftig keinen Einfluss aufeinander nehmen k"onnen.


\bigskip\noindent
Wenn sich zwei Nulldistanzen an einem Punkt aufspalten geschieht dies nacheinander, es sind zwei getrennte Prozesse bzw. Transitionen.

Eine Distanz kann niemals den gleichen Punkt als zwei seiner Endpunkte haben. Sollte dieser Fall anscheinend auftreten teilt sich der Endpunkt und eine neuer Punkt entsteht.


\subsection{Definitionen}

Im Nachfolgenden sind einige Definitionen aufgestellt, die der besseren Handhabbarkeit der Theorie dienen.

\begin{Def}
Eine \textbf{Distanz} $d$ ist ein paar von (End-)Punkten $d=(p_1,p_2)$.
\end{Def}
Distanzen sind die elementaren Bestandteile der Theorie.

\begin{Def}
Ein \textbf{\index{Distanzzug}Distanzzug} $D$ ist eine Liste von Distanzen  $D=\{(p_1,p_2), (p_2,p_3),$ $\ldots,$ $(p_{n-1},p_n)\}$, wobei von den zwei Endpunkte einer Distanz jeweils einer auch ein Endpunkt der Vorg"angerdistanz und der andere Endpunkt der Nachfolgerdistanz ist, wenn eine Vorg"anger- bzw. Nachfolgerdistanz vorhanden ist.
\end{Def}

\begin{Def}
Die \textbf{\index{Punkt!Nachbarpunkt}positiven bzw. negativen Nachbar(-punkte) $p_n$} eines Punktes $p$, sind die Punkt die mit ihm ($p$) durch eine positive bzw. negative Distanz verbunden sind.
\end{Def}
Da zwei Punkte nur durch positive oder negative Distanzen verbunden sein k"onnen, Punkte nur als Endpunkte von Distanzen existieren k"onnen und kein Punkt mit sich selbst verbunden ist, ist jeder Punkt entweder ein positiver oder negativer Nachbarpunkt eines zweiten Punktes.

\begin{Def}
Ein \textbf{\index{Raumuniversum}Raumuniversum $RU$} ist ein Tripel der Form $RU=(Dp,Dn,P)$, dabei ist $P$ die Menge der Punkte, $Dp$ die Multimenge der positiven und $Dn$ die Multimenge der negativen Distanzen. F"ur alle Elemente $d=(p_1,p_2) \in (Dp \cup Dn)$ gilt $p_1, p_2 \in P$ .
\end{Def}
Der Multimengenbegriff mit entsprechenden Operatoren wird im Abschnitt \ref{Multimenge} auf Seite \pageref{Multimenge} definiert.

\begin{Def}
Die \textbf{\index{Raumuniversum!Gr"o"se}Gr"o"se} oder der \textbf{\index{Raumuniversum!Betrag}Betrag} ($\left| RU\right|$) eines Raumuniversums $RU$ ist die Anzahl der Distanzen in ihm. $\left| RU\right|=\left| Dp\right|+\left| Dn\right|$ mit $RU=(Dp,Dn,P)$
\end{Def}

\begin{Def}
Zwei \textbf{\index{Raumuniversum!Gleichheit}Raumuniversen $RU_1$ und $RU_2$ sind gleich} ($RU_1 = RU_2$), wenn $(RU_1=(Dp_1,Dn_1,P_1)) \wedge (RU_2=(Dp_2,Dn_2,P_2)) \wedge (Dp_1=Dp_2) \wedge (Dn_1=Dn_2) \wedge (P_1=P_2)$ gilt, also ihre Elemente gleich sind.

\noindent
$(RU_1 = RU_2) \Leftrightarrow (RU_1=(Dp_1,Dn_1,P_1)) \wedge (RU_2=(Dp_2,Dn_2,P_2)) \wedge (Dp_1=Dp_2) \wedge (Dn_1=Dn_2) \wedge (P_1=P_2)$
\end{Def}

\begin{Def}
Ein \textbf{\index{Raumuniversum!Teil}Raumuniversum $RU_1$ ist Teil eines Raumuniversums $RU_2$} 
\\\noindent
($RU_1 \subseteq RU_2$), wenn $(RU_1=(Dp_1,Dn_1,P_1)) \wedge (RU_2=(Dp_2,Dn_2,P_2)) \wedge (Dp_1 \subseteq Dp_2) \wedge (Dn_1 \subseteq Dn_2) \wedge (P_1 \subseteq P_2)$ gilt.

\noindent
$(RU_1 \subseteq RU_2) \Leftrightarrow (RU_1=(Dp_1,Dn_1,P_1)) \wedge (RU_2=(Dp_2,Dn_2,P_2)) \wedge (Dp_1 \subseteq Dp_2) \wedge (Dn_1 \subseteq Dn_2) \wedge (P_1 \subseteq P_2)$
\end{Def}

\begin{Def}
Ein \textbf{\index{Raumuniversum!Zusammenhang}Raumuniversum $RU=(Dp,Dn,P)$ ist zusammenh"angend}, wenn f"ur zwei beliebige Punkte $p_1,p_n \in P$ es einen Distanzzug $D=\{(p_1,p_2),$ $(p_2,p_3), \ldots,(p_{n-1},p_n)\}$ gibt dessen Elemente in $Dp \cup Dn$ sind.
\end{Def}

\begin{Def}
Ein \textbf{\index{Distanz!Fussel}Fussel} oder \textbf{\index{Br"ucke}\index{Distanz!Br"ucke}Br"ucke} in einem Raumuniversum, ist eine Distanz, die zwei nicht anders zusammenh"angende Teile des Raumuniversums verbindet. Wenn ein Fussel aus einem zusammenh"angenden Raumuniversum gel"oscht wird, entstehen zwei zusammenh"angende Raumuniversen. Ein {Fusselende} ist ein Punkt, der nur "uber einen Fussel bzw. eine Distanz mit anderen Punkten verbunden ist.
\end{Def}

\begin{Def}
Ein \textbf{\index{Engpass}\index{Distanz!Engpass}Engpass} in einem Raumuniversum, ist eine Punkt, die zwei nicht anders zusammenh"angende Teile des Raumuniversums verbindet. Wenn ein Engpass mit den Distanzen, von denen er Endpunkt ist, aus einem zusammenh"angenden Raumuniversum gel"oscht wird, entstehen zwei zusammenh"angende Raumuniversen. 
\end{Def}
Ein Fusselende ist demnach immer ein Engpass, aber nicht umgekehrt. Ein Engpass ist nicht unbedingt ein Fusselende, da es zwischen einem Engpass und seinen Nachbarn auch mehrere Distanzen geben kann, die, da sie mehrere sind, keine Fussel sind.

\begin{Def}
Ein \textbf{\index{Raumuniversum!Zusammenhang positiv/negativ}Raumuniversum $RU=(Dp,Dn,P)$ ist positiv bzw. negativ zusammenh"angend}, wenn f"ur zwei beliebige Punkte $p_1,p_n \in P$ es einen Distanzzug $D=\{(p_1,p_2),$ $(p_2,p_3), \ldots,(p_{n-1},p_n)\}$ gibt dessen Elemente in $Dp$ bzw. $Dn$ sind.
\end{Def}

\begin{Def}
Eine \textbf{\index{Transition}Transition} ist eine Funktion $t:(R,P,P,P) \rightarrow R$, wobei $R$ die Menge der Raumuniversen ist und $P$ die Menge der Punkte. Wenn $p_{n1}$ und $p_{n3}$ zwei in $P_{RU}$ nicht enthaltender Punkte sind, dann ist $t(RU_1,p_1,p_2,p_3)=RU_2$ mit $RU_1=(Dp,Dn,P_{RU})$, $p_2 \in P_{RU}$, $(p_1,p_2) \in (Dp \cup Dn \cup \{(p_{n1},p_2)\})$ und $(p_2,p_3) \in (Dp \cup Dn \cup \{(p_2,p_{n3})\})$. $RU_2$ ergibt sich dabei aus $RU_1$ nach dem Transitionsdiagramm. Dabei ist $p_2$ der \index{Entstehungspunkt}\index{Punkt!Entstehungspunkt}Entstehungspunkt bzw. der \index{Ursprungspunkt}\index{Punkt!Ursprungspunkt}Ursprungspunkt der Transition, wo sich die Nulldistanz aufspaltet.
\end{Def}

\begin{Def}
Ein \textbf{\index{Punkttick}\index{Transition!Punkttick}Punkttick} ist die Ausf"uhrung einer Transition.
\end{Def}


\begin{Def}
Eine \textbf{\index{Transitionsschritt}\index{Transition!Transitionsschritt}Transitionsschritt} ist eine Funktion $T:(\{R, \ldots, R\}) \rightarrow$ 
\\\noindent
$\{R, \ldots, R\}$, wobei $R$ die Menge der Raumuniversen ist. Wenn $p_{n1}$ und $p_{n3}$ zwei in $P_{RU}$ nicht enthaltender Punkte sind, dann ist: $T(\{RU_1,\ldots,RU_n\})= \{ RU \mid \forall RU_i \in \{RU_1,\ldots$ 
$,RU_n\} \wedge (RU_i=(Dp,Dn,P)) \wedge \forall (p_1,p_2) \in (Dp \cup Dn \cup \{(p_{n1},p_2)\}) \wedge \forall (p_2,p_3) \in (Dp \cup Dn \cup \{(p_2,p_{n3})\}) \wedge (t(RU_i,p_1,p_2,p_3)=RU) \}$ 
\end{Def}
Bei einem Transitionsschritt wird also aus einer Eingabemenge von Raumuniversen die Menge von Raum\-uni\-versen gebildet, die durch eine Transitionen aus den Raum\-uni\-versen der Eingabemenge entstehen k"onnen.

$T^i$ ist die $i$-fache Anwendung der $T$ Funktion.


\begin{Def}
Eine \textbf{\index{elementare Raumuniversumsfolge}\index{Raumuniversumsfolge!elementar}elementare Raumuniversumsfolge $RF$} ist eine Folge von Raumuniversen, bei der das Nachfolgerraumuniversum aus seinem Vorg"angerraumuniversum durch eine Transition hervorgeht.

\noindent
$RF=\{RU_1,RU_2,\ldots,RU_n\}$ mit $RU_{i+1} \in T(\{RU_{i}\})$ f"ur $i=1, \ldots ,n-1$
\end{Def}

\begin{Def}
Eine \textbf{\index{Raumuniversumsfolge}\index{Raumuniversum!Folge}Raumuniversumsfolge $RF$} ist eine Folge von Raumuniversen, bei der das Nachfolgerraumuniversum aus seinem Vorg"angerraumuniversum durch eine Anzahl ($n_i$) von Transition hervorgeht.

\noindent
$RF=\{RU_1,RU_2,\ldots,RU_n\}$ mit $RU_{i+1} \in T^{n_i}(\{RU_{i}\})$ f"ur $i=1, \ldots ,n-1$ und $n_i \in \{1,\ldots,\infty\}$
\end{Def}

\begin{Def}
Eine \textbf{\index{Zeitpr"adikat}\index{Raumuniversenfolge!Zeitpr"adikat}Zeitpr"adikat $Z(RF)$} ist eine Funktion, die wahr ist, wenn die elementare Raumuniversenfolge $RF$ bestimmte Bedingungen bez"uglich ihrer L"ange erf"ullt, sonst ist sie falsch.
\end{Def}
Das Zeitpr"adikat dient zur Einf"uhrung eines Zeitbegriffs, der sich nicht unbedingt linear zu der Anzahl der gemachten Transitionen verh"alt. So kann der Zeitbegriff Beispielsweise von der Anzahl der Distanzen in den Raumuniversen der Raumuniversenfolge $RF$ abh"angig gemacht werden, z.B. indem das Zeitpr"adikat nur wahr ist, wenn f"ur jede Distanz im Anfangsraumuniversum der Raumuniversumsfolge eine Transition ausgef"uhrt wurde.


\begin{Def}\label{DefUniversum}
Das \textbf{\index{Universum}Universum} $U$ enth"alt alle Raumuniversen, die durch Transitionen aus dem Anfangsraumuniversum $RU_{a}=(\emptyset,\emptyset,\{p\})$ hervorgehen k"onnen.

\begin{eqnarray*}
	U_0 &=& \{RU_{a} \mid RU_{a}=(\emptyset,\emptyset,\{p\})\} \\
	U_{i+1} &=& T(U_i) \quad i=\{1, \ldots,\infty \}\\ %i \in \nat
	U &=& \bigcup_{i \geq 0} U_{i}
\end{eqnarray*}
\end{Def}
Diese Definition schlie"st nat"urlich viele Raumuniversen aus, z.B. sind nur Raumuniversen $RU=(Dp,Dn,P)$ im Universum enthalten f"ur die $\left| Dp \right|=\left| Dn \right|$ gilt. 

Der Punkt im Anfangsraumuniversum dient nur zur mathematischen Vereinfachung, ist aber laut Theorie nicht vorhanden, da Punkte immer Endpunkte von Distanzen sein m"ussen und nicht eigenst"andig existieren. Desweiteren werden im weiteren mathematischen Formalismus der Einfachheit halber Punkte, die nicht Endpunkte von Distanzen sind, nicht separat behandelt/gel"oscht.



\subsection{\index{Transitionsdiagramm}Transitionsdiagramm}

Durch das Aufspalten einer Nulldistanz entsteht eine \index{Transition}Transition bzw. ein \index{Raumuniversum!"Ubergang}"Ubergang von einem Raumuniversum zu einem anderem. Hier wird dieser Vorgang beschrieben. Dies geschieht mithilfe eines \index{Transitionsdiagramms}Transitionsdiagramms, welches die Ver"anderung durch das \index{Distanz!Aufspaltung}\index{Distanz!Entstehung}Aufspalten einer Nulldistanz darstellt.

Am Punkt $p_2$ spaltet sich die Nulldistanz auf, $p_1$ ist der Punkt zu dem die positive Teildistanz bzw. Distanz geht und $p_3$ ist der Punkt zu dem die negative Teildistanz bzw. Distanz geht. Distanzen, die bei den Transitionen nicht ber"ucksichtigt werden, sind in den folgenden Darstellungen nicht aufgef"uhrt, z.B. wenn es vorher drei positive Distanzen zwischen zwei Punkten gab, ist nur eine dargestellt. Die Punkte $p_1$ und $p_3$ m"ussen verschieden sein.
Je nach der Verbindung bzw. den Distanzen die vorher zu diesen Punkten gehen, gibt es die neun nachfolgenden Transitionen (benannt mit $t_i$; $1 \leq i \leq 9$).

\begin{eqnarray*}
\begin{array}{llllllllllll}
	 t_1)&  p_1&+&p_2&+&p_3  &\Longrightarrow & p_3&+&p_1&+&p_2 \\
	 t_2)&  p_1&+&p_2&-&p_3  &\Longrightarrow & p_1&++&p_2&--&p_3 \\
	 t_3)&  p_1&-&p_2&+&p_3  &\Longrightarrow & p_1& &p_2& &p_3 \\
	 t_4)&  p_1&-&p_2&-&p_3  &\Longrightarrow & p_3&-&p_1&-&p_2 \\
	 t_5)&  p_1&+&p_2& &     &\Longrightarrow & p_1&++&p_2&-&p_3 \\
	 t_6)&     & &p_2&+&p_3  &\Longrightarrow & p_1&+&p_3& &p_2 \\
	 t_7)&  p_1&-&p_2& &     &\Longrightarrow & p_1&-&p_3& &p_2 \\
	 t_8)&     & &p_2&-&p_3  &\Longrightarrow & p_1&+&p_2&--&p_3 \\
	 t_9)&     & &p_2& &     &\Longrightarrow & p_1&+&p_2&-&p_3
\end{array}
\end{eqnarray*}
Legende:
\begin{tabbing}
\hspace{1cm} \= \kill
$davor \Longrightarrow danach$ \>\\
\>\\
Linke Seite(davor):\>\\
$p_i$ \>= Punkt mit $i \in \{1;2;3\}$ \\
$+$ \>= mindestens eine positive Distanz \\
$-$ \>= mindestens eine negative Distanz \\
  \>= keine Distanz bzw. kein Punkt (Punkt wird dann neu erzeugt) \\
\>\\
Rechte Seite(danach):\>\\
$++$ \>= eine zus"atzliche positive Distanz \\
$--$ \>= eine zus"atzliche negative Distanz \\
  \>=  eine Distanz der vorher vorhandenen weniger\\
ein $+$/$-$ mehr eine positive/negative Distanz mehr\>\\
ein $+$/$-$ weniger eine positive/negative Distanz weniger\>\\
\end{tabbing}
\bigskip\noindent

Es besteht die M"oglichkeit, dass f"ur die Punkte $p_1$ und $p_3$ der gleiche Punkt ausgew"ahlt wird. In diesem Fall \index{Distanz!Vernichtung}l"oschen sich die positive und negative Distanz aus und es gibt keine Ver"anderung und damit eigentlich keine Transition. Dieser Fall ist allerdings relativ schwer zu ber"ucksichtigen (z.B. f"ur die Transitionswahrscheinlichkeiten), da dann die Endpunkte der Distanzen zu ber"ucksichtigen sind. Daher werden diese F"alle jeweils den Transitionen $t_1$ und $t_4$ zugeordnet, je nachdem, ob die beiden verbindenden Distanzen positiv oder negativ sind.

\begin{figure}[htb]
	\centering
		\includegraphics[scale=0.5]{./Bilder/translations.eps}
	\caption{Transitionen}
	\label{fig:translations}
\end{figure}

In Abbildung \ref{fig:translations} sind die \index{Transition!Diagram}Transitionen bzw. "Uberg"ange noch einmal grafisch dargestellt. Eine rot Kante symbolisiert dabei positive ($+$) und eine gr"une Kante negative ($-$) Distanzen (nicht ber"ucksichtigte Kanten sind wieder nicht dargestellt). Jedes K"astchen steht f"ur eine Transition, wobei die obere H"alfte f"ur die Situation vor der Transition (dem aufspalten der Nulldistanz) und die untere H"alfte f"ur die Situation danach steht. Nach links geht die neue positive Distanz und nach rechts die neue negative Distanz.

\index{Grundlagen|)}\index{Distanz|)}\index{Distanz!Nulldistanz|)}\index{Distanz!Aufspalten|)}\index{Distanz!Entstehung|)}\index{Punkt|)}

\subsection{\index{Wahrscheinlichkeiten}Wahrscheinlichkeiten}
\label{abs:Wahrscheinlichkeiten}

Bevorzugt wir die \index{viele-Welten Sicht}viele-Welten Sicht. An allen m"oglichen (Entstehungs-) Punkt des Raumuniversums entstehen alle durch Transitionen m"ogliche neuen Distanzverkn"upfungen und erzeugen jeweils ein neues Raum\-uni\-ver\-sum, beziehungsweise f"ur alle m"oglichen verbundenen Punkttripel der Punkte des Ausgangsuniversums $RU_1$ plus zwei neuen Punkten $p_{n1}$ und $p_{n3}$, gibt es ein \index{Raumuniversumsfolge} Folgeraumuniversum $RU_2$. 
\\\noindent($(RU_1=(Dp,Dn,P)) \wedge \forall (p_1,p_2) \in (Dp \cup Dn \cup \{(p_{n1},p_2)\}) \wedge \forall (p_2,p_3) \in (Dp \cup Dn \cup \{(p_2,p_{n3})\}) \wedge \exists RU_2 \in U \wedge t(RU_1,p_1,p_2,p_3) =  RU_2$).

Ausgangspunkt f"ur die Wahrscheinlichkeiten einer \index{Transition!Wahrscheinlichkeit}Transition auf einem Ursprungspunkt, sind also die Nachbarpunkt des Punktes. Welche Transition mit welcher Wahrscheinlichkeit auf einen Ursprungspunkt ausgef"uhrt, h"angt nur von der Anzahl seiner positiven und negativen Nachbarpunkt ab.

Raumuniversen die sich nur durch eine aufgespaltete Null\-distanz unterscheiden, sind zeitlich durch die \index{Zeit!kleinste Zeiteinheit}kleinste Zeiteinheit benachbart. Wahrscheinlichkeiten entstehen durch Ausz"ahlen. Wenn sich eine Nulldistanz aufspaltet sind alle \index{Raumuniversumsfolge!M"oglichkeiten}M"oglichkeiten, wie die entstehenden Distanzen mit \index{Punkt!Nachbarpunkt}Nachbarpunkten (inklusive Entstehungspunkt) verbunden werden, somit gleichwahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit, dass etwas eintritt, kann dadurch \index{Wahrscheinlichkeit!Berechnung}berechnet werden, dass die Anzahl der Raumuniversen, in denen es eingetreten ist, durch die Anzahl der beobachteten Raumuniversen insgesamt geteilt wird. Bei der Wahrscheinlichkeit, dass etwas innerhalb einer Zeitspanne eintritt, werden nur Raumuniversen die zeitlich nahe genug zum Ausgangs-/Anfangsuniversum benachbart sind gez"ahlt bzw. betrachtet. 
Im \index{Wahrscheinlichkeitsraum}Wahrscheinlichkeitsraum erhalten die Raumuniversenklassen, je nach ihrer Anzahl, eine bestimmte Wahrscheinlichkeit.  %??
Wenn von einem bestimmten Raumuniversum $RU$ ausgegangen wird, ist der Wahrscheinlichkeitsraum nach einer Zeitspanne $Z$ die Menge Raumuniversenklassen, die betrachtet werden, mit jeweils der Wahrscheinlichkeit. Wobei die Wahrscheinlichkeit jeweils gleich der Anzahl, der in der Raumuniversenklassen enthaltenden Raumuniversen, durch die Gesamtzahl der entstandenen Raumuniversen ist.

\bigskip\noindent
Meistens wird die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass ein endlicher \index{Beobachter}\index{Beobachtung}Beobachter etwas(ein \index{Ereignis}Ereignis) beobachtet, bzw. sich in einer bestimmten Weise (durch die Beobachtung) ver"andert. Der Beobachter ist Teil von Raumuniversen des Universums, und damit ein eigenes Raumuniversum oder Klasse von Raumuniversum.
Er beinhaltet sein gesamtes Universum (das Beo\-bach\-ter\-uni\-ver\-sum), alles was er also "uber das Universum wei"s (z.B. "uber die Vergangenheit), ist in ihm codiert.
Zu unterscheiden sind der Anfangsbeobachter $B_B$, f"ur welchen sich die Frage stellt, mit welcher Wahrscheinlichkeit er etwas beobachten wird, und der Endbeobachter $B_E$ der sich vom Anfangsbeobachter $B_B$ dadurch unterscheidet, dass er die Beobachtung (zur Beobachtung kann auch die vergangene subjektive Zeit geh"oren) gemacht hat. Weiterhin gibt es ein \index{Zeitpredikat}Zeitpredikat $Z(RF)$, das nur wahr ist, wenn die Raumuniversumsfolge $RF$ innerhalb bestimmter Grenzen liegt, in der die \index{Beobachtung}Beobachtung auftreten soll. Die Beobachter sind jeweils Pr"adikate (Pr"ufungen) "uber Raumuniversen, welche nur wahr sind, wenn das Raumuniversum bestimmte Vorgaben erf"ullt, z.B. wenn es eine bestimmte Distanzstruktur enth"alt. Raumuniversumsklassen und Pr"adikate werden hier synonym f"ur Beobachter verwendet. Ein Beobachter ist in einem Raumuniversum, genau dann wenn auf dem Raumuniversum das Pr"adikat des Beobachters er"ullt ist. Weiterhin ist auf dem Raumuniversum das Pr"adikat des Beobachters er"ullt, genau dann wenn das Raumuniversum ein Raumuniversum aus der Klasse von Raumuniversen des Beobachters enth"alt.

Die Menge der Raumuniversen $RB_B$ in denen der Anfangsbeobachter existiert ist $RB_B=\{RU \mid \forall RU \in U \wedge B_B(RU)\}$ . Alle elementare Raumuniversumsfolge $RF=\{R_1, \ldots ,R_n\}$ mit $Z(RF)=wahr$ und $R_1 \in RB_B$ sind in der Menge $RUF$ der m"oglichen Raumuniversenfolgen. $RUF=\{RF \mid \forall RF=\{R_1, \ldots ,R_n\} \wedge ( R_{i+1} \in T(R_{i}) \wedge i=1, \ldots ,n-1) \wedge R_1 \in RB_B \wedge Z(RF) \}$
Die Menge aller Endbeobachtungsraumuniversen $RB_{Eall}$ ist gleich der Menge der Endraumuniversen aller m"oglichen Raumuniversenfolgen.
\\\noindent
$RB_{Eall}=\{RU_{end} \mid \forall RF \in RFU \wedge RF=\{R_1, \ldots ,RU_{end}\} \}$
Alle Endbeobachtungsraumuniversen $RU_{end}$ f"ur die $B_E(RU_{end})$ gilt, sind in der Menge der erfolgreichen Beobachtungen $RB_E$. $RB_E=\{RU_{end} \mid \forall RU_{end} \in RB_{Eall} \wedge B_E(RU_{end})\}$
Die Wahrscheinlichkeit $pb$ der Beobachtung $B_E$ ist dann $pb=\left| RB_E \right| / \left| RB_{Eall} \right|$.

Diese Beschreibung ist leicht erweiterbar auf mehrere Endbeobachter oder Ereignisse (verschiedene \index{Ereigniss}Ereignisse ver"andern den Anfangsbeobachter unterschiedlich zu unterschiedlichen Endbeobachtern) die eintreten sollen. F"ur jeden dieser Endbeobachter $B_{Ei}$ wird eine eigene Menge der erfolgreichen Beobachtungen $RB_{Ei}$ eingef"uhrt. Die Wahrscheinlichkeit $pb_i$ des Endbeobachters $B_{Ei}$ (bzw. des Ereignisses der Beobachtung $i$ ) ist dann $pb_i=\left| RB_{Ei} \right| / \left| RB_{Eall} \right|$ .

Die (Anfangs- oder End-) Beobachter sind Raumuniversumsteile die bestimmte Vorgaben (Anfangs- und Endbedingungen) erf"ullen. Es sind mit Beobachter also nicht intelligente Wesen gemeint, sondern Raumuniversumsteile in denen die Vorgaben(Pr"adikate) realisiert sind, der Raumuniversumsteil hat die Vorgaben sozusagen aufgenommen. Ein Ereignis ist demnach der "Ubergang von einem Anfangsbeobachter zu einem Endbeobachter.

Mit den Beobachtern k"onnen \index{Experimente}Experimente realisiert werden.
Ein gleichm"a"siges Grundraumuniversum in dem die Anfagsvorgaben realisiert werden, kann als Anfangsbeobachter eines Experimentes dienen. Solche Anfangsbeobachter d"urften gute Bedingungen zeigen, wenn der Verlauf nicht durch andere Vorg"ange im Universum gest"ort werden soll.

Im allgemeinen ist die genaue Berechnung der Wahrscheinlichkeiten unm"oglich, da es zu viele m"ogliche Raumuniversenfolgen $RUF$ gibt. Die Wahrscheinlichkeiten k"onnen allerdings \index{Wahrscheinlichkeiten!Approximation}approximiert werden, in dem mehrere zuf"allige elementaren Raumuniversenfolgen aus der Menge $RUF$ der m"oglichen Raumuniversenfolgen erzeugt werden und bez"uglich ihnen die Wahrscheinlichkeiten berechnet werden. Um so mehr m"oglichen zuf"allige Raumuniversenfolgen generiert werden, um so besser wird die Approximation der Wahrscheinlichkeiten.



\subsection{Freiheitsgrade}

In der vorgestellten Theorie gibt es ein paar \index{Freiheitsgrade}Freiheitsgrade, mit denen von dieser Theorie abweichende Theorien gebildet werden k"onnen.

\bigskip\noindent
Einer dieser Freiheitsgrad betrifft die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, also welche Wahrscheinlichkeit werden Ereignissen zugeordnet.

\noindent
Dabei gibt es folgende M"oglichkeiten:
\begin{itemize}
\item[1] gleiche Raumuniversen z"ahlen als eines (aktuell in dieser Theorie)
\item[2] gleiche Raumuniversen z"ahlen separat (in der Wahrscheinlichkeitsberechnung werden Mengen durch Multimengen ersetzt)
\item[3] die elementare m"ogliche Raumuniversenfolgen werden, anstatt der Endraumuniversen, gez"ahlt
\end{itemize}

\bigskip\noindent
Bei den beiden F"allen, dass bei einer Transition f"ur die Punkte $p_1$ und $p_3$ der gleiche Punkt ausgew"ahlt wird, besteht die M"oglichkeit, anstatt keiner "Anderung vorzunehmen, einen neuen Punkt zu erzeugen und das Distanzende $p_2$ einer der beiden verbindenden Distanz zum neuen Punkt zu verlegen. Diese F"alle w"urden dann, je nach verbindenden Distanzen, wie die Transitionen $t_6$ oder $t_7$ mit dem Ursprungspungt $p_1$ ($=p_3$) arbeiten. 

\bigskip\noindent
Ausgangspunkt f"ur die Wahrscheinlichkeiten einer Transition auf einem Ursprungspunkt, k"onnten anstatt seiner Nachbarpunkt auch seine ausgehenden Distanzen sein. Welche Transition mit welcher Wahrscheinlichkeit auf einen Ursprungspunkt ausgef"uhrt, h"angt dann von der Anzahl seiner positiven und negativen ausgehenden Distanzen ab. Da zwei Punkt durch mehrere Distanzen verbunden sein k"onnen, ist dies ein Unterschied zur vorgestellten Theorie. Dann k"onnte aus einem Raumuniversum allerdings in einem Transitionsschritt mehrere (vollkommen) identisch Raumuniversen entstehen, was der Logik widerspricht, dass (vollkommen) identisch Dinge ein und das selbe und nicht mehrere Dinge sind.

\bigskip\noindent
Des weiteren kann statt der viele-Welten Sicht auch die eine-Welt Sicht bevorzugt werden. Es wird also immer nur eine Folge von Raumuniversen, unabh"angig von anderen, betrachtet.

Der Freiheitsgrade betrifft dann die Auswahl der Transitionspunkte, dass hei"st welcher Entstehungspunkte f"ur das Aufspalten der n"achsten Nulldistanz genommen wird und das n"achste Raumuniversum erzeugt.

\noindent
Folgende M"oglichkeiten sind vorhanden:
\begin{itemize}
\item[1] Transition nacheinander an den einzelnen Punkten der Raumuniversen in fester oder zuf"alliger Ordnung %(kein gro"ser Unterschied?)
\item[2] Transitionen bei zuf"allig gew"ahlten Punkten, alle Punkte gleich wahrscheinlich
\item[3] Transitionen bei zuf"allig gew"ahlten Punkten, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt gew"ahlt wird, h"angt von Distanzanzahlen und/oder Nachbarpunktanzahlen ab (z.B. Gewicht des Punktes ist gleich Summe der Anzahlen der Distanzen)
\end{itemize}

\bigskip\noindent
Bei der Auswahl der Endpunkte der entstehenden Distanzen in der eine-Welt Sich, also beim Aufspalten einer Nulldistanz, k"onnten auch abweichende Vereinbarungen getroffen werden, z.B. k"onnten Punkte, zu denen schon eine (negative) Distanz geht, bevorzugt werden.

\bigskip\noindent
Bei den Transitionen, wie sie hier verwendet werden, wird dadurch, dass eine Distanz einer Art zerst"ort und eine Distanz der gleichen Art erzeugt wird, der Endpunkt, der zu l"oschenden Distanz, der auf den aktuellen Entstehungspunkt lag, zu dem Endpunkt, der entstehenden Distanz gleicher Art, verschoben. Es k"onnen aber auch einfach die Distanzen gel"oscht und hinzugef"ugt werden, so wie sie entstehen. Diese "Anderung betrifft die Transitionen $t_1$, $t_4$, $t_6$ und $t_7$, sie s"ahen dann wie folgt aus:
\begin{eqnarray*}
\begin{array}{llllllllllll}
	 t_1)&  p_1&+&p_2&+&p_3  &\Longrightarrow & p_1&++&p_2& &p_3 \\
	 t_4)&  p_1&-&p_2&-&p_3  &\Longrightarrow & p_1& &p_2&--&p_3 \\
	 t_6)&     & &p_2&+&p_3  &\Longrightarrow & p_1&+&p_2& &p_3 \\
	 t_7)&  p_1&-&p_2& &     &\Longrightarrow & p_1& &p_2&-&p_3 \\
\end{array}
\end{eqnarray*}

\bigskip\noindent
Es w"are weiterhin m"oglich noch mehr oder andere Arten von Distanzen zu erlauben. Es k"onnten mehr von einander unabh"angige Gruppen von Distanzenpaaren eingef"uhrt werden, wobei sich nur Distanzenpaare der gleichen Gruppe gegenseitig aufheben k"onnen, oder die Gruppen k"onnen erweitert werden, so dass z.B. drei unterschiedliche Distanzen beim Aufspalten einer Nulldistanz entstehen und auch drei unterschiedlicher Distanzen einer Gruppe n"otig sind, um sich gegenseitig aufzuheben. Es k"onnten auch andersartige Distanzen erwogen werden, z.B. Distanzen mit drei Enden. Auch ein Universum, in dem es nur eine Art von Distanz gibt, ist m"oglich.

