
\section{Untersuchung einer Testreihe}
\label{abs::UTestreihe}

Zur Untersuchung, der hier vorgestellten Theorie, wurde der Simulator universP programmiert. Repr"asentiert werden dabei die unterschiedlichen Raumuniversen durch Listen von Punkten, in den Punkten sind auch ihre Nachbarpunkte mit der Art der Verbindung bzw. Distanz zu ihnen abgespeichert. Ein Tick ist die minimale Zeiteinheit im Simulator. Bei einem Tick wird aus einem Raumuniversum ein neues Raumuniversum berechnet, indem nacheinander f"ur alle Punkte ($p_2$) des Ursprungsraumuniversums jeweils zwei Nachbarpunkte ($p_1$ und $p_3$) des Punktes ($p_2$) (gleichwahrscheinlich) ausgew"ahlt werden und dann die zugeh"orige Transition ausgef"uhrt wird. Die neu erzeugten Punkte werden an das Ende der Liste f"ur das Raumuniversum angef"ugt, so dass um so "alter ein Punkte ist, er um so weiter vorn in der Liste steht. Das erzeugte Raumuniversum wird als der Ausgangspunkt f"ur das im n"achsten Tick zu erzeugende Raumuniversum genommen. Es wird also nur eine Folge von Raumuniversen berechnet und nicht alle m"oglichen, dies geschieht um den Berechnungsaufwand der Simulation noch handhabbar zu halten. Auch entspricht die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Raumuniversenfolge generiert wird, nicht der Wahrscheinlichkeit, die sie nach der vorgestellten Theorie haben m"usste. Die Testreihe gibt damit einen Eindruck der M"oglichkeiten, aber nicht der Wahrscheinlichkeit.

Desweiteren werden nach einem Tick, um Rechenzeit zu sparen, alle Teile des Raumuniversums aus ihm gel"oscht, die nicht mehr mit dem gr"o"sten zusammenh"angenden Teile (bzw. dem mit den meisten Punkten) des Raumuniversums verbunden sind.

Begonnen wurde mit einem Anfangsraumuniversum, welches nur einen Punkt (ohne Distanzen) enthielt. Im Nachfolgendem ist mit der Zeit die Anzahl der Ticks seit dem Anfangsraumuniversum gemeint. Alle nachfolgenden Daten entstammen der gleichen Testreihe (Folge von Raumuniversen).


\begin{figure}[htb]
	\centering
		\includegraphics[scale=0.5,angle=270]{./Bilder/universNPPointsDist.ps}
	\caption{Anzahl der Punkte, negativen und positive Distanzen in den Raumuniversen}
	\label{fig:universNPPointsDist}
\end{figure}

Abbildung \ref{fig:universNPPointsDist} zeigt die Anzahl der Punkte (P), negativen (ND) und positive Distanzen (PD) in den Raumuniversen. Alle drei Kurven zeigen einen "ahnlichen exponentiellen Anstieg, wobei die Kurven f"ur die Distanzanzahlen fast identisch sind. Die Anzahl der Punkte liegt dabei etwas "uber der Anzahl der unterschiedlichen Arten von Distanzen.

\begin{figure}[htb]
	\centering
		\includegraphics[scale=0.5,angle=270]{./Bilder/universDistDPoint.ps}
	\caption{Distanzen-Punkte-Quotient in den Raumuniversen}
	\label{fig:universDistDPoint}
\end{figure}

In Abbildung \ref{fig:universDistDPoint} wird das Verh"altnis von Punkten zu Distanzen (Distanzen-Punkte-Quotient) gezeigt. Dabei wurde die Anzahl der Distanzen insgesamt durch die Anzahl der Punkte dividiert (Distanzen$/$Punkte). Nach einer Anfangsphase, in der die Anzahl der Distanzen pro Punkt stark zunimmt, pendelt sich das Verh"altnis bei rund $1.66$ ein. Es existieren dort also rund $1.66$ Distanzen pro Punkt. Allerdings sind die Anzahlen von Distanzen nicht gleichm"a"sig "uber die Punkte verteilt.

\begin{figure}[htb]
	\centering
		\includegraphics[scale=0.5,angle=270]{./Bilder/maxUDist.ps}
	\caption{Ausdehnung der Raumuniversen}
	\label{fig:maxUDist}
\end{figure}

Abbildung \ref{fig:maxUDist} zeigt die Ausdehnung der Raumuniversen. Daf"ur wurde die Entfernung zwischen bzw. der Abstand von dem "altesten Punkt des Raumuniversums (der am weitesten vorn in der List steht) zu dem Punkt, der von ihm am weitesten entfernt aber noch mit ihm verbunden ist, gemessen. Der Anstieg der Ausdehnung ist, zumindest im untersuchtem Bereich, ungef"ahr linear. In Verbindung mit Abbildung \ref{fig:universNPPointsDist} f"ur die Anzahl von Punkten und Distanzen bedeutet dies, dass die Dichte in den untersuchten Raumuniversen mit der Zeit zunimmt.

\begin{figure}[htb]
	\centering
		\includegraphics[scale=0.5,angle=270]{./Bilder/universTransAAll_log.ps}
	\caption{Anzahl der Transitionen in den Raumuniversen}
	\label{fig:universTransAAll}
\end{figure}

Abbildung \ref{fig:universTransAAll} zeigt die Anzahlen der einzelnen Transitionsarten in den Raumuniversen. Die Kurve $i$ geh"ort dabei zu der Transition $t_i$ . Alle Kurven zeigen, wie Abbildung \ref{fig:universNPPointsDist} erwarten l"asst, einen exponentiellen Anstieg, da auf jedem Punkt des Raumuniversums beim Tick eine Transition ausgef"uhrt wird.

\begin{figure}[htb]
	\centering
		\includegraphics[scale=0.5,angle=270]{./Bilder/universTransPAll.ps}
	\caption{Anteil der Transitionen in den Raumuniversen}
	\label{fig:universTransPAll}
\end{figure}

Abbildung \ref{fig:universTransPAll} zeigt die zugeh"origen Anteile der einzelnen Transitionen an der Gesamtanzahl der Transitionen. Bereiche oberhalb eines Anteils von $0.2$ wurden dabei der "Ubersichtlichkeit halber ausgeblendet. Nach einer Anfangsphase pendeln sich die Kurven auf relativ stabile Werte ein.
Transition $t_9$ ist dabei bei weitem am h"aufigst. Interessant ist, dass Transitionen die zueinander symmetrisch sind, wie z.B. $t_1$ und $t_4$, nicht bei "ahnlichen Endwerten landen. Dies zeigt, dass die Anfangsentwicklung der Raumuniversen wichtig ist und dass bei unterschiedlichen Anfangsentwicklungen sich auch die weiteren Raumuniversenfolgen unterscheiden.

\clearpage
\subsection{Raster}

Um die lokalen Strukturen und Entwicklungsverl"aufe besser Untersuchen zu k"onnen, wurde, wenn ein Raumuniversum der Folge eine bestimmte Gr"o"se "uberschritten hatte, ein Menge von n"aher benachbarten Punkten aus ihm als Raster ausgew"ahlt.

Als erster Punkt wurde dabei der "alteste Punkt des Raumuniversums (der erste der zugeh"origen Liste) ins Raster eingef"ugt. Der n"achste Punkt wurde aus der Punktmenge der Oberfl"ache im Abstand drei zum Raster gew"ahlt. F"ur alle nachfolgenden Punkte wurde, aus dem Schnitt von der Oberfl"ache im Abstand drei zum Raster und der Oberfl"ache im Abstand drei zur Menge des letzten gew"ahlten Punktes, ein Punkt ausgew"ahlt. Der letzte gew"ahlte Punkt wurde dann zum Raster hinzugef"ugt und der aktuelle gew"ahlte Punkt wurde zum letztem gew"ahlten Punkt. Dies wurde solange wiederholt bis $200$ Punkte im Raster waren.

Das gleiche Raster von Punkten wurden dann bei den nachfolgenden Raum\-universen untersucht.

\begin{figure}[htb]
	\centering
		\includegraphics[scale=0.5,angle=270]{./Bilder/gridP.ps}
	\caption{Anzahl der Punkte im Raster}
	\label{fig:gridP}
\end{figure}

Da Punkte aus den Raumuniversen und damit aus dem Raster, wenn kleinere zusammenh"angende Teile des Raumuniversen gel"oscht werden, entfernt werden k"onnen, nimmt die Anzahl der Punkte im Raster stetig ab. Dies ist in Abbildung \ref{fig:gridP} zu sehen, dort sind die Anzahlen der Punkte im Raster f"ur die einzelnen Raumuniversen zu sehen. Nach einem starken Abfall am Anfang schw"acht sich dieser mit der Zeit ab. Punkte die schon "alter sind, haben demnach eine h"ohere Wahrscheinlichkeit auch noch eine l"angere zuk"unftige Lebensspanne zu haben.%, oder um so "alter ein Punkt um so h"oher ist die Wahrscheinlichkeit das er noch l"anger .

\begin{figure}[htb]
	\centering
		\includegraphics[scale=0.5,angle=270]{./Bilder/avDist.ps}
	\caption{Durchschnittlicher Abstand zwischen den Punkten}
	\label{fig:avDist}
\end{figure}

Abbildung \ref{fig:avDist} zeigt den durchschnittlichen Abstand zwischen den Punkten im Raster. Die Abnahme der Kurve k"onnte schon allein mit der Abnahme der Punkte im Raster erkl"arbar sein. Hier w"are es sinnvoll, nur Punkte zu betrachten die auch in allen Raumuniversen vorhanden sind. 

\begin{figure}[htb]
	\centering
		\includegraphics[scale=0.5,angle=270]{./Bilder/neibAvNPPointsDistD3.ps}
	\caption{Durchschnittliche Anzahl von Punkten, negativen und positiven Distanzen im Abstand 3 zu den Rasterpunkten}
	\label{fig:neibAvNPPointsDistD3}
\end{figure}

In Abbildung \ref{fig:neibAvNPPointsDistD3} sind die durchschnittlichen Anzahlen von Punkten, positiven und negativen Distanzen innerhalb des Abstands drei zu den Rasterpunkten zu sehen. Deutlich zu sehen ist ein Anstieg dieser, wobei die Kurven zwar "ahnlich Verlaufen, aber die Kurve der positiven Distanzen, anders als in Abbildung \ref{fig:universNPPointsDist}, "uber der der negativen Distanzen liegt. Desweiteren liegt die Anzahl der Punkte unter den Anzahlen f"ur die Arten von Distanzen, anders als in Abbildung \ref{fig:universNPPointsDist} Seite \pageref{fig:universNPPointsDist} f"ur die ganzen Raumuniversen.

\begin{figure}[htb]
	\centering
		\includegraphics[scale=0.5,angle=270]{./Bilder/neibAvMPNDistD3.ps}
	\caption{Durchschnittliche Differenz von positiven und negativen Distanzen im Abstand 3 zu den Rasterpunkten}
	\label{fig:neibAvMPNDistD3}
\end{figure}

In Abbildung \ref{fig:neibAvMPNDistD3} ist der Unterschied der Anzahlen der Arten der Distanzen dargestellt, dabei wurde der Durchschnitt der Differenz von positiven und negativen Distanzen ((positiven Distanzen) $-$ (negativen Distanzen)) dargestellt. Zu sehen ist eine deutliche Zuname dieser Differenz. Es gibt also zunehmend mehr positive Distanzen als negative Distanzen innerhalb des Abstands drei zu den Rasterpunkten und das obwohl die beiden Arten von Distanz in der gleichen Anzahl an den gleichen Orten entstehen.

\begin{figure}[htb]
	\centering
		\includegraphics[scale=0.5,angle=270]{./Bilder/neibMaxNPPointsDistD3.ps}
	\caption{Maximale Anzahl von Punkten, negativen und positiven Distanzen im Abstand 3 zu den Rasterpunkten}
	\label{fig:neibMaxNPPointsDistD3}
\end{figure}

Abbildung \ref{fig:neibMaxNPPointsDistD3} zeigt die maximale Anzahl von Punkten, positiven und negativen Distanzen innerhalb des Abstands drei zu den Rasterpunkten. Die Werte der Kurven sind deutlich h"oher, als die des Durchschnitts aus Abbildung \ref{fig:neibAvNPPointsDistD3}.

\begin{figure}[htb]
	\centering
		\includegraphics[scale=0.5,angle=270]{./Bilder/neibMinNPPointsDistD3.ps}
	\caption{Minimale Anzahl von Punkten, negativen und positiven Distanzen im Abstand 3 zu den Rasterpunkten}
	\label{fig:neibMinNPPointsDistD3}
\end{figure}

In Abbildung \ref{fig:neibMinNPPointsDistD3} ist dagegen die minimale Anzahl von Punkten, positiven und negativen Distanzen innerhalb des Abstands drei zu den Rasterpunkten zu sehen. Hier sind die Werte der Kurven deutlich geringer, als die des Durchschnitts aus Abbildung \ref{fig:neibAvNPPointsDistD3}. 
Es gibt also lokale Unterschiede in der Struktur der Raumuniversen.
