\section{Gesetze}
\label{AbsGesetze}
\index{Gesetze|(}

Dieses Universum unterliegt einer Reihe von Gesetzm"a"sigkeiten. In diesem Abschnitt sollen einige dieser Gesetzm"a"sigkeiten (bzw. (Natur-)Gesetze) untersucht werden.

\subsection{Allm"ahliche Ver"anderung}
\label{AbsVeraenderung}
\index{Gesetze!Ver"anderungen}

Aufgrund der Tatsache, dass die \index{Raumuniversum}Raumuniversen durch \index{Transition}Transitionen ver"andert werden und die Transitionen immer nur einige \index{Distanz}Distanzen "andern, l"oschen oder hinzuf"ugen, k"onnen sich \index{Raumuniversum!Bereiche}Bereiche im Raumuniversum nur allm"ahlich ver"andern. Hat Beispielsweise ein \index{Punkt}Punkt vor einer Transition nur zwei ausgehende Distanzen, so kann er nach der Transition nicht zehn ausgehende Distanzen haben.

Da im Universum alle m"oglichen Transitionen auf allen m"ogliche Punkten ausgef"uhrt werden, sind \index{Raumuniversenfolge}Raumuniversenfolgen und damit Verl"aufe bei denen Ver"anderung nur in wenigen Bereichen auftreten, sehr unwahrscheinlich. Anders gesagt ist es sehr unwahrscheinlich, dass Transitionen in einer Raumuniversenfolge nur immer in den gleichen Bereichen auftreten. Deshalb gelten auf gr"o"serer Skala im Universum f"ur Vorg"ange "ahnliche \index{Zeit!Gesetze}Zeitgesetze.

Dadurch dass die \index{Wahrscheinlichkeiten}Wahrscheinlichkeiten f"ur Transitionen nur von \index{Strukturen}lokalen Strukturen (bzw. den direkten Nachbarpunkten und -distanzen) abh"angen, gibt es f"ur gleiche Strukturen auch "ahnliche \index{Gesetz!Entwicklung}Entwicklungsgesetze f"ur eine n"ahere Zukunft. Das hei"st, zwei Bereiche die gleich sind, k"onnen sich nicht von Anfang an v"ollig unterschiedlich entwickeln. Nur unterschiedliche "au"sere \index{Einfl"usse!"au"sere}Einfl"usse k"onnen bei gleichen Bereichen zu unterschiedlichen Entwicklungen f"uhren.


\subsection{Nachbarschaftsbeziehung}
\label{AbsNachbarschaftsbeziehung}
\index{Nachbarschaftsbeziehungen}

In diesem Abschnitt werden die Nachbarschaftsbeziehung von Punkten und Distanzen n"aher beleuchtet, daf"ur seinen zuerst die folgenden Definitionen angebracht.
Ausgegangen wird dabei davon, dass alle Punkte und Distanzen, wenn nicht anders gekennzeichnet, aus einem Raumuniversum kommen.

\begin{Def}
Der \index{Punkt!Abstand}\textbf{Abstand $n(P_1,P_n)$} zwischen zwei Punkten ($P_1$ und $P_n$), wird durch den k"urzesten \index{Distanzzug}Distanzzug $D_{min}=\{(P_1,P_2), (P_2,P_3),\ldots, (P_{n-1},P_n)\}$ bestimmt, der sie verbindet. Es ist $n(P_1,P_n)=|D_{min}|=n$, wenn es keinen Distenzzug zwischen den Punkten gibt ist $n(P_1,P_n)=\infty$ . 
\end{Def}
Ein Punkt ist durch den leeren Distanzzug $D_{min}=\{\}$ (einer Nulldistanz = keiner Distanz) mit sich selbst verbunden. Daraus folgt, dass ein Punkt den  Abstand 0 zu sich selbst hat ($n(P,P)=0$).

\noindent
Die Abbildung $n$ erf"ullt die Metrik-Axiome, da:
\begin{eqnarray*}
	n(P_1,P_2)&=&n(P_2,P_1)\geq 0\\
	n(P_1,P_2)&=&0 \Leftrightarrow P_1=P_2 \\
	n(P_1,P_3)&\leq& n(P_1,P_2) + n(P_2,P_3)	
\end{eqnarray*}
Die Raumuniversen bilden zusammen mit der Abbildung $n$ \index{metrischer Raum}metrische R"aume.

\begin{Def}
Alle \textbf{Punkte $P_e$ innerhalb des Abstands $e$} zu einem Punkt $P_1$, sind die Punkte, f"ur die gilt $n(P_1,P_e)\leq e$ .
\end{Def}

\begin{Def}
Alle \index{Distanz!Abstand}\textbf{Distanzen $D_e$ innerhalb des Abstands $e$} zu einem Punkt $P_1$, sind die Distanzen, f"ur die es einen Distanzzug $D$ gibt, mit $|D|\leq e$, $D_e \in D$ und $(P_1,P_2) \in D$ (f"ur einen beliebigen Punkt $P_2$).
\end{Def}

\begin{Def}
Die \index{Oberfl"ache}\textbf{Oberfl"ache $O$ zu einer Punktmenge $M$} im Abstand $a$ ($O(M,a)$), ist die Menge aller Punkte, welche zu einem Punkt der Punktmenge $M$ den Abstand $a$ haben und zu keinem Punkt der Punktmenge $M$ einen Abstand kleiner als $a$.
\\\noindent
$O(M,a)=\{P \mid \exists P_1 \in M \wedge a=n(P_1,P) \wedge \forall P_2 \in M \wedge (a \leq n(P_2,P)) \}$
\end{Def}

\begin{Def}
Die \index{Punkt!Dichte}\index{Distanz!Dichte}\textbf{Punktdichte bzw. Distanzdichte} eines \index{Bereiches!Dichte}Bereiches im Abstand $a$ um einen Punkt $P$, ist die Anzahl der Punkte bzw. Distanzen innerhalb dieses Abstandes $a$ um den Punkt $P$.
\end{Def}

\index{Punkt!Entfernung|(}
\begin{Def}
\textbf{Zwei Punkte sind (nahe) benachbart}, wenn es einen (kurzen) Distanzenzug gibt, der sie verbindet.
\end{Def}

\begin{Def}
\textbf{Zwei Punkte sind nicht anders (nahe) benachbart} als durch ein Distanz bzw. einen Fussel $D$, wenn sie im Raumuniversum ohne die Distanz $D$ nicht (nahe) benachbart sind.
\end{Def}

\begin{Def}
\textbf{Zwei Punkte entfernen sich von einander bzw. n"ahern sich an}, wenn der Abstand zwischen den Punkten im betrachtetem Teil des Universums gr"o"ser bzw. kleiner wird.
\end{Def}
\index{Punkt!Entfernung|)}

Bei der Entstehung von Distanzen sind ihre \index{Distanz!Endpunkt}Endpunkte nach der Transition, im gleichen Raumuniversum ohne die Distanz, bedingt durch die Art der Entstehung, entweder auch nahe benachbart oder nicht benachbart (wenn ein neuer Punkt entsteht).

%Wenn die Endpunktepunkte nicht anders als durch eine Distanz $D$ nahe benachbart sind, bleiben sie nach einer Transition entweder nicht anders nahe benachbart, dann wird die Distanz $D$ gel"oscht oder ihr Endpunkt mit anderen Nachbarn wird verschoben, oder sie bleiben mit hoher Wahrscheinlichkeit weiter nahe benachbart. %???

Nur in \index{Transition}Transition $t_1$ oder $t_4$ also im Fall $t_{ae}$ k"onnen sich die Endpunkte einer Distanz zu Nachbarpunkten als Endpunkte "andern. Damit sich die Endpunkte einer Distanz (im Universum ohne die Distanz) von einander entfernen, muss sich ein Endpunkt zu einem vom anderem Endpunkt entfernteren Nachbarn bewegen. Und diese Distanz darf, bei der Entfernung ihrer Endpunkte, nicht irgendwann ausgel"oscht werden.

\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\begin{picture}(10,2)(-6.5,-0.5)
	\put(0.0,0.0){\circle*{0.1}}\put(-0.10,-0.35){R}
	\put(0.0,0.0){\circle{2.0}}\put(-1.0,1.0){Nachbarn NR}

	\put(0.0,0.0){\line(-1,0){3.5}}
	\put(-3.5,0.0){\circle*{0.1}}\put(-3.65,-0.35){L}
	\put(-3.5,0.0){\circle{2.0}}\put(-4.5,1.0){Nachbarn NL}

\end{picture}
\end{center}
\caption{Wanderung der Distanzenden}
\label{wanderDistE}
\end{figure}

\index{Distanz!Endpunkt|(}

\begin{Sa}[Lokalit"at]
Die \index{Wahrscheinlichkeit}Wahrscheinlichkeit, dass die Endpunkte einer Distanz, im gleichem Raumuniversum ohne die Distanz, den Abstand $n$ haben, nimmt exponentiell mit $n$ ab.
\end{Sa}

Abbildung \ref{wanderDistE} soll die folgenden Ausf"uhrungen verdeutlichen, $R$ und $L$ sind dabei die Endpunkte der Distanz von der ein Endpunkt versetzt wird, des weiteren ist $NR$ bzw. $NL$ die Menge der jeweiligen direkten Nachbarpunkte (sie haben den Abstand 1 zu $R$ bzw $L$) der Distanzenden/Punkte $R$ bzw. $L$. Die Distanz die im Fall $t_{ae}$ einen ihrer beiden Endpunkte ($L$ und $R$) zu einem Nachbarpunkt "andert, hat daf"ur jeweils zwei M"oglichkeiten. Entweder wird das Distanzende zu einem lokalen Nachbarn versetzt, in Abbildung \ref{wanderDistE} wird dann $R$ bzw. $L$ zu einem Nachbarn in $NR$ bzw. $NL$ versetzt, oder zu einem entfernten Nachbarn, $R$ bzw. $L$ wird zu einem Nachbarn in $NL$ bzw. $NR$ versetzt. Wenn der Endpunkt zu einem entfernten Nachbarn versetzt wird, r"uckt er n"aher an den anderen Endpunkt der Distanz heran, die Endpunkte entfernen sich dabei nicht. Nur wenn der Endpunkt zu einem zu ihm lokalen Nachbarn wandert, kann er sich vom anderen Endpunkt entfernen, er kann ihm dabei aber auch n"aher kommen oder seinen Abstand beibehalten. Beide M"oglichkeiten, dass ein Endpunkt zu einem lokalen oder entfernten Nachbarn versetzt wird, sind gleich Wahrscheinlich. Denn welche M"oglichkeit auftritt h"angt nur davon ab, in welche Richtung beim Aufspalten der Nulldistanz welche der beiden Distanzen geht. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich die beiden Distanzenden weiter \index{Punkt!Entfernung}entfernen, ist damit maximal $1/2$ . Daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit, nachdem $a$ mal ein Distanzende der Distanz versetzt wurde, auch $a$ mal sich die beiden Distanzenden weiter entfernt haben, maximal $(1/2)^a$ ist.  

Dadurch entsteht Lokalit"at im Universum, beziehungsweise die Endpunkte einer Distanz sind mit hoher Wahrscheinlichkeit auch anders als durch die Distanz nahe benachbart oder gar nicht benachbart.
\index{Distanz!Endpunkt|)}

\subsection{Vernetzung}
\label{AbsVernetzung}

\index{Universum!Vernetzung|(}
\index{Universum!Teile|(}
\index{Raumuniversum!Zusammenhang|(}
\index{Nachbarschaftsbeziehungen|(}
\index{Distanzzug|(}
\index{Raumuniversum!reiner Teil|(}
Nur durch die \index{Transition!$t_1$}\index{Transition!$t_4$}Transitionen $t_1$ und $t_4$ k"onnen Teile des Universums vernetzt werden. Daraus folgt auch, dass nur reine Raumuniversumsteile vernetzt werden k"onnen. 

Mit Vernetzung ist dabei gemeint, dass ein Distanzzug zwischen Punkten auch Distanzen mit v"ollig anderen Endpunkten enthalten k"onnen, als ein zweiter Distanzzug zwischen den gleichen Punkten. Ohne Vernetzung m"ussten ein Distanzzug zwischen zwei Punkten immer einen Distanzzug enthalten, der die beiden Punkte als Endpunkte hat und dessen Distanzen die gleiche Anzahl und Reihenfolge von Endpunkte hat wie der k"urzeste Distanzzug zwischen den beiden Punkten. 

Ohne Vernetzung w"urde jeder Punkt so viele Raumuniversumsteile trennen, die ohne ihn nicht untereinander zusammenh"angen, wie der Punkt direkte Nachbarpunkte hat. Seine Nachbarpunkt w"aren also ohne ihn nicht benachbart. Das Raumuniversum w"are dann eine Art Baum mit mehrfachen Verbindungen zwischen seinen Knoten.

\bigskip\noindent
Wie sieht es aber mit der Vernetzung im vorgestellten Universum aus? 

Nur die \index{Transition!$t_1$}\index{Transition!$t_4$}Transitionen $t_1$ und $t_4$ k"onnen den \index{Punkt!Abstand}Abstand zwischen zwei Punkten im Raumuniversum verringern, nur durch sie k"onnen alternative (Distanz-) Pfade "uber andere Punkte entstehen. Diese Transitionen k"onnen aber nur zwischen Punkten stattfinden, die durch Distanzen der gleichen Art verbunden sind. Daraus folgt, dass nur solche Punktmengen vernetzt werden k"onnen.

Wenn Punkt $p_1$ und Punkt $p_2$ durch positive und Punkt $p_2$ und Punkt $p_3$ durch negative Distanzen verbunden sind (siehe Abbildung \ref{fig:p3_pn}), k"onnen die Punkte $p_1$ und $p_3$ nur "uber $p_2$ verbunden sein, da es keine Transition gibt, die ein Distanzende "uber eine Distanz der gegens"atzlichen Art versetzen kann. Solche Punkte wie $p_2$ sind also Engp"asse, "uber die alle Distanz"anderungen laufen m"ussen, die zwei Teile mit unterschiedlichen Distanzarten eines Raumuniversums beeinflussen. Nur "uber solche Engp"asse k"onnen Vorg"ange in einem reinen Bereich des Raumuniversums Auswirkung auf andere reine Bereich haben.

\begin{figure}[htb]
	\centering
		\includegraphics[scale=0.75]{./Bilder/3Points_pn.eps}%bb=0 0 170 60
	\caption{Drei Punkte}
	\label{fig:p3_pn}
\end{figure}

Wenn also alle reinen Bereiche (Punkte die nur durch Distanzen einer Art verbunden sind) im Universum durch jeweils einen Punkt ersetzt werden, bildet die zusammenh"angenden Raumuniversenteile des Universums immer Baumstrukturen mit zwei verschiedenen Kantenarten und m"oglicherweise mehreren Kanten der gleichen Art zwischen zwei Punkten.
Nur in reinen Bereichen k"onnen vernetzte Strukturen entstehen.

Vernetzung d"urfte aber auch den Zusammenhalt der vernetzten Punkte f"ordern, da dort in mehreren Bereichen Distanzen gel"oscht werden m"ussen, um die Punkte voneinander zu trennen (so dass es keinen Distanzzug mehr zwischen ihnen gibt).  W"ahrend in nicht vernetzten Bereichen immer nur die Distanzen zwischen nur zwei Punkten getrennt werden m"ussen, um den Raumuniversumsteil in zwei nicht zusammenh"angenden Teile aufzuspalten.

Reine vernetzte Teile d"urften also eine wichtige Rolle f"ur Strukturen und beim Zusammenhalt des Universums spielen.
\index{Raumuniversum!reiner Teil|)}
\index{Distanzzug|)}
\index{Nachbarschaftsbeziehungen|)}
\index{Raumuniversum!Zusammenhang|)}
\index{Universum!Teile|)}
\index{Universum!Vernetzung|)}

\subsection{Zeit}
\index{Zeit|(}

In diesem Abschnitt soll der Zeitbegriff im Universum n"aher beleuchtet werden.

\subsubsection{Standard Uhren}

\begin{Def}
Eine \textbf{\index{Zeit!Standarduhr}Standarduhr $C_S$} ist ein theoretischer Raumuniversumsteil im Universum, der mit dem Rest des Universums nicht verbunden ist und sich nicht durch Transitionen ver"andert, bzw. immer konstant ist.
\end{Def}

Standard Uhren dienen der lokalen Zeitmessung im Universum. Das Zeitverhalten eines Bereichs im Universum ist bez"uglich einer Standarduhr unabh"angig vom Rest des Universums.
Im Gegensatz Beispielsweise zu einer Zeitmessung, welche sich auf einen Tick auf jeden Raumuniversumspunkt bezieht.

\begin{Def}
Eine \textbf{\index{Zeit!Standarduhrtick}Standarduhrtick} ist eine Folge von Raumuniversen, w"ahrend der auf den Distanzen einer Standarduhr durchschnittlich eine Transition angewendet wird.
\end{Def}

Nat"urlich ist f"ur ein normalen Raumuniversumsteil in einer Raumuniversumsfolge nicht zu sagen, wann durchschnittlich eine Transition auf ihm ausgef"uhrt wird. F"ur einen theoretischen, sich nicht ver"andernden Raumuniversumsteil ist dies aber rechnerisch l"osbar.

Die Unabh"angigkeit der Standarduhr kommt dadurch zu Stande, dass diese unabh"angig vom Rest des Universums immer gleich ist.
Bei einer lokalen Betrachtung bez"uglich einer Standarduhr, ist das Verh"altnis der Anteile der m"oglichen Transitionen, f"ur die Standarduhr und den lokalen Bereich, unabh"angig vom Rest des Universums.

\bigskip\noindent{\bfseries Beweis}:\newline
Wenn ein lokaler Bereich, bzw. ein Raumuniversumsteil $RU_t$, existiert mit $\left|t_{RU_t}\right|$ m"oglichen Transition und eine Standarduhr $C_S$ mit $\left|t_{C_S}\right|$ m"oglichen Transition und im gesamten Raumuniversum $RU_g$, $\left|t_{RU_g}\right|$ Transition m"ogliche sind.
Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Transition im Raumuniversumsteil $RU_t$ geschieht: $p(RU_t)=\left|t_{RU_t}\right|/\left|t_{RU_g}\right|$
und f"ur die Standarduhr $C_S$: $p(C_S)=\left|t_{C_S}\right|/\left|t_{RU_g}\right|$. $p(C_S)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Transition in der Standarduhr ausgef"uhrt wird, wenn auf dem gesamten Raumuniversum eine Transition ausgef"uhrt wird, damit ist $1/p(C_S)=\left|t_{RU_g}\right|/\left|t_{C_S}\right|$ ein Standartuhrtick oder die Anzahl der Transitionen auf dem gesamten Raumuniversum, w"ahrend derer auf der Standarduhr durchschnittlich eine Transition ausgef"uhrt wird.
Damit ist das Verh"altnis von $p(RU_t)$ und $p(C_S)$, oder dass Verh"altnis der Wahrscheinlichkeiten, dass w"ahrend einer Transitione diese in dem Raumuniversumsteil $RU_t$ oder der Standarduhr $C_S$ auftritt :$p(RU_t)/p(C_S)=(\left|t_{RU_t}\right|/\left|t_{RU_g}\right|)/(\left|t_{C_S}\right|/\left|t_{RU_g}\right|)= (\left|t_{RU_t}\right|)/(\left|t_{C_S}\right|)$ , also unabh"angig vom Rest des gesamten Raumuniversums.

\bigskip\noindent
Um die Zeitrechnung im Universum zu Standartisieren werden noch folgende zwei Definitionen aufgestellt:

\begin{Def}
Eine \textbf{\index{Zeit!Eins-Standarduhr}Eins-Standarduhr $C_{S1}$} ist eine Standarduhr die aus einem hypothetischen (End-)Punkt besteht.
\end{Def}

Das ``hypothetischen'' ist notwendig, da ein Endpunkt nicht einzeln existieren kann. Dieser Punkt ohne Ausgehende Distanzen wird also nur angenommen und dann betrachtet wie viele Transitionen auf dieser Eins-Standarduhr durchschnittlich geschehen.



\begin{Def}
Eine \textbf{\index{Zeit!Einstick}Einstick $CT_1$} ist eine Standarduhrtick einer Eins-Standarduhr.
\end{Def}

Einem Einstick liegt damit nur eine m"ogliche Transition zugrunde.

Um die Anzahl der Einsticke zu berechnen, die w"ahrend einer Transition in einem Raumuniversumsteil durchschnittlich vergehen, ist nur die Anzahl der m"oglichen Transitionen des Raumuniversumsteils zu ermitteln und 1 durch diese Zahl zu teilen. Um so gr"o"ser ein Raumuniversum wird und um so mehr Transitionen in ihm m"oglich sind, um so weniger Einstick geschehen w"ahrend einer Transition in ihm. Das bedeutet, wenn eine bestimmte durchschnittliche Anzahl von Transition in einem Raumuniversumsteil betrachtet wird, ist die Anzahl der Einstick w"ahrend dieser Transitionen gleich, egal wie gro"s und wie Strukturiert der Rest des Raumuniversums ist.

\index{Zeit!Lokale}Standard Uhren stellen also sicher, dass die Ver"anderungen im einem Raumuniversumsteil unabh"angig vom Rest des Raumuniversums betrachtet werden k"onnen.

\bigskip\noindent
\textbf{Beispiel:} In einem Raumuniversum $RU_1$ sind $100$ Transitionen m"oglich und es wird der Einfachheit halber angenommen, dass sich die Anzahl m"oglich Transitionen nach beliebig vielen Transition nicht "andert. Dann geschehen w"ahrend einer Transition im Raumuniversum $RU_1$ $1/100$ Einsticke und w"ahrend $100$ Transitionen im Raumuniversum $RU_1$ $1$ Einstick.

Ein zweites Raumuniversum $RU_2$ besteht nun aus $2$ seperaten Teilraumuniversen $RU_{t1}$ und $RU_{t2}$ die identisch zu dem Raumuniversum $RU_1$ sind. Damit sind im Raumuniversum $RU_2$ $200$ Transitionen m"oglich. Daraus folgt, w"ahrend einer Transition im Raumuniversum $RU_2$ geschehen $1/200$ Einsticke und w"ahrend $200$ Transitionen im Raumuniversum $RU_2$ $1$ Einstick. Damit entfallen auf durschnittlich $100$ Transitionen im Teilraumuniversen $RU_{t1}$ (und seperat $RU_{t2}$, da sich die $200$ Transitionen mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf beide Teilraumuniversen verteilen) ein Einstick, also genausoviele wie bei genausovielen ($100$) Transitionen im einzelen gleichen Raumuniversum $RU_1$.


\subsubsection{Zeitverhalten}
\label{Zeitverhalten}
\index{Zeit!Verhalten|(}
\index{Zeit!Lokale|(}

Mit den Definitionen der Standartuhr sind folgende Aussagen "uber das Zeitverhalten von lokalen Bereichen im Universum m"oglich.

An einem Punkt ist die Wahrscheinlichkeit f"ur eine Transition um so h"oher, je mehr Nachbarn er hat, da mit der Anzahl seiner Nachbarn die Anzahl der m"oglichen Transitionen zunimmt. Genauer: Die Wahrscheinlichkeit f"ur eine Transition steigt quadratisch mit der Anzahl der Nachbarn eines Punktes, da die Anzahl der m"oglichen Transitionen $\left|t_{P}\right|$ an einem Punkt $P$ mit $n_a$ Nachbarn(inklusive dem punkt selbst) gleich $\left|t_{P}\right|=(n_a)^2$ ist. Damit steigt die Wahrscheinlichkeit f"ur eine Ver"anderung an einem Punkt, bzw. der Zeitablauf, quadratisch mit der Anzahl seiner Nachbarn $n_a$ gegen"uber einer Standarduhr.

Da die Anzahl der m"oglichen Transition additiv f"ur mehrere Punkte ist, ist auch die Wahrscheinlichkeit f"ur eine Ver"anderung an diesen Punkten additiv.

\bigskip\noindent Beispiel 1:

Das Zeitverhalten eines Raumbereich $RU$ mit $10$ Punkten die jeweils $10$ Nachbarn $n_a$ haben, wird im Hinblick auf eine Eins-Standarduhr, betrachtet. Die Anzahl der m"oglichen Transitionen $\left|t_{RU}\right|$ im Raumbereich $RU$ ist: $\left|t_{RU}\right|=n_a^2*10=10^2*10=1000$. F"ur eine Transition ben"otigt der Raumbereich $RU$ im Durchschnitt $1/1000$ Einsticke.

\bigskip\noindent Beispiel 2:

Ein Raumbereich $RU_3$ mit mit nur $5$ Nachbarn $n_{a3}$ pro Punkt, muss genauso viele m"ogliche Transitionen wie Beispiel 1 haben, um in der gleichen Zeit($1/1000$ Einsticke) durchschnittlich eine Transition zu erfahren.
\begin{eqnarray*}
\left|t_{RU_3}\right| &=& \left|t_{RU}\right|\\
 \left|t_{RU_3}\right|&=&(n_{a3}^2*p)\\
 p&=&\left|t_{RU_3}\right|/n_{a3}^2\\
 p&=&1000/5^2\\
 p&=&1000/25=40\\
\end{eqnarray*}

Der Raumbereich $RU_3$ muss also $40$ Punkte umfassen, um in der gleichen Zeit($1/1000$ Einsticke) wie in Beispiel 1 durchschnittlich eine Transition zu erfahren.

\bigskip\noindent
Mit Zunahme der Nachbarn pro Punkt in einem Raumuniversumsteil, nimmt also auch die Anzahl der Transitionen pro Punkt (Ver"anderungsgeschwindigkeit) zu. W"ahrend eine Zunahme der Punkte bei gleichbleibender Anzahl Nachbarn pro Punkt die Anzahl der Transitionen pro Punkt sich nicht ver"andert.

\index{Zeit!Verhalten|)}
\index{Zeit!Lokale|)}

%TODO: ueberarbeiten
\paragraph{Unendliche schnelle Raumuniversumsfolgen}

Dadurch, dass die Anzahl der m"oglichen Transitionen pro Punkt mit der Anzahl seinen Nachbarn zunimmt, gibt es das Ph"anom"an, dass unendlich viele Transitionen in einem Raumuniversum auftreten k"onnen, ohne dass auch nur ein Einstick vergeht. Es gibt also unendliche Raumuniversumsfolgen, die keinen Einstick lang sind.

\bigskip\noindent
Beweis:
Es wird ein Raumuniversum mit einem Punkt und zwei Punktmengen angenommen:
\begin{itemize}
 \item Einen Mittelpunkt $m$ an dem immer zwei neue Distanzen zu neuen Punkten entstehen.
 \item Einen Menge der positiven Nachbarn $p$ zum Mittelpunkt.
 \item Einen Menge der negativen Nachbarn $n$ zum Mittelpunkt.
\end{itemize}

Ein solcher Verlauf, bei dem immer die gleiche Transition an einem gleichen Punkt (dem Mittelpunkt) auftritt, ist sicherlich sehr Unwahrscheinlich (die Wahrscheinlichkeit nimmt exponentiell mit der Anzahl der Transitionen ab) aber m"oglich und damit im Universum existent. Die Anzahl der möglichen Transitionen in den Mengen der positiven bzw. negativen Nachparpunkte ist $4*|p|$ bzw. $4*|n|$, da jeder Nachbarpunkt des Mittelpunks genau einen Nachbarn hat, den Mittelpunkt, und somit an ihm $2^2=4$ Transitionen möglich sind.

Wenn $t$ die Anzahl der m"oglichen Transitionen ist und f"ur $t=0$ (also am Anfang) die Anzahl der m"oglichen Auswahlen der Nachbarpunkte f"ur den Mittelpunkt $n_{am}$ ist, sowie die Mengen der positiven und negativen Nachbarn leer sind.

Dann folgt f"ur die Anzahl der Standarteinsticks $CT_1$ nach $e$ Transitionen:

\begin{eqnarray*}
 CT_1 &=& \lim_{e\to\infty} \sum_{t=0}^e 1/((n_{am}+2t)^2+4*|p|+4*|n|)\\
 CT_1 &=& \lim_{e\to\infty} \sum_{t=0}^e 1/(n_{am}^2+4n_{am}t+4t^2+4*t+4*t)\\
 CT_1 &=& \lim_{e\to\infty} \sum_{t=0}^e \frac{1}{4t^2}\\
 CT_1 &=& \lim_{e\to\infty} \frac{1}{4} \sum_{t=0}^e \frac{1}{t^2}\\
 CT_1 &=& \frac{1}{4} \frac{\pi^2}{6} = \frac{\pi^2}{24} \approx 0,41\\
\end{eqnarray*}

Innerhalb von rund $0,41$ Standarteinsticks gibt es in dieser Raumuniversumsfolge unendlich viele Transitionen.


\subsubsection{Bewegungsgeschwindigkeit}

Wie in Abschnitt \ref{Zeitverhalten} (Seite \pageref{Zeitverhalten}) beschrieben, ist in mehr vernetzten Raumbereichen (Raumbereichen mit mehr Nachbarn pro Punkt) die Anzahl der Transitionen auf einem Einstick h"oher, als in weniger vernetzten Raumbereichen. In mehr vernetzten Raumbereichen ist auch die Wahrscheinlichkeit, dass ein Distanzende bewegt/verlegt wird $t_{ae}$ h"oher als in weniger vernetzten Raumbereichen.

Um so mehr vernetzt ein Raumbereich wird, um so schneller d"urften also Bewegungen in ihm werden.

%todo Ausrechnen: Folgen f"ur Vernetzung, Wachstum ...


\subsection{maximale Geschwindigkeit}%(Lichtgeschwindigkeit)

Es gibt eine maximale Geschwindigkeit ("`Lichtgeschwindigkeit"') die dadurch definiert ist, wie schnell sich etwas im Raum maximal ausbreiten kann. Nur durch eine Punkttick kann etwas an andere Nachbarpunkte weitergegeben werden, bzw. sich einen Endpunkt einer Distanz in deren Richtung bewegen. Die Maximalgeschwindigkeit ist also ein Punkt per Punkttick. 

Auf verschiedene Arten kann diese Geschwindigkeit auf gr"o"seren Bereichen "uberschritten werden. 

Erstens k"onnen lokal die Punkte, die etwas weitergeben, im Verh"altnis zu den anderen Punkten im Bereich, "ofter ticken, so dass dort anscheinend die Zeit schneller vergeht. Allerdings w"are das ein rein zuf"alliger Effekt und das Produkt, aus St"arke (Zeitbeschleunigung) mal Wahrscheinlichkeit das es Auftritt, nimmt mit der Gr"o"se des beschleunigten Bereiches ab.

Die zweite Art betrifft die Nachbarschaftsbeziehung von Punkten. Wenn in einem Bereich die Punkte weniger Distanzen zwischen sich haben, als ihre Nachbarpunkte auf denen die Beobachtung ausgef"uhrt wird, ist die maximale "Ubertragungsgeschwindigkeit zwischen ihnen schneller, als auf der Bahn zwischen den Nachbarpunkten. Ein extrem davon w"are eine Art Wurmloch. Hierzu sei auch auf den Abschnitt \ref{AbsNachbarschaftsbeziehung} Seite \pageref{AbsNachbarschaftsbeziehung} verwiesen.
%(Auf Atomskala ist Tunnelung noch wahrscheinlich aber nicht im meter Ma"sstab.) ???

%\bigskip\noindent
Desweiteren k"onnen sich Bereiche des Universums gegen"uber anderen Bereichen bewegen. Dies sollte aber haupts"achlich in gr"o"seren Ma"sst"aben auftreten.

\index{Zeit|)}
\index{Gesetze|)}