
\section{Multimenge}
\label{Multimenge}

Zur Vereinfachung der Definitionen wird hier der Begriff der Multimengen mit zugeh"origen Operatoren definiert.

\begin{Def}
Eine \textbf{Multimenge} enth"alt eine Anzahl von Elementen. In einer Multimenge sind die Elemente ungeordnet und k"onnen mehrfach vorkommen.
\end{Def}

\begin{Def}
Zwei \textbf{Multimenge $M_1$ und $M_2$ sind gleich} ($M_1=M_2$ ), wenn die Multimenge $M_1$ die gleichen Elemente in der gleichen Anzahl wie der Multimenge $M_2$ enth"alt.
\end{Def}

\begin{Def}
Die \textbf{Differenz $\setminus$ zweier Multimenge} $M_1$ und $M_2$ ($M_1 \setminus M_2=M_3$ ), ist die Multimenge $M_3$ die entsteht, wenn f"ur jedes Element der Multimenge $M_2$ ein gleiches Element aus der Multimenge $M_1$ gel"oscht wird, wenn m"oglich.
\end{Def}

\begin{Def}
Die \textbf{Vereinigung $\cup$ zweier Multimenge $M_1$ und $M_2$} ($M_1 \cup M_2=M_3$), ist die Multimenge $M_3$ die entsteht, wenn die Element der Multimenge $M_1$ zu den Elementen der Multimenge $M_2$ hinzugef"ugt werden. Die Anzahl der Elemente in der Multimenge $M_3$ ist gleich die Summe der Anzahlen der gleichen Elemente in den Multimengen $M_1$ und $M_2$.
\end{Def}

\begin{Def}
Der \textbf{Durchschnitt $\cap$ zweier Multimenge $M_1$ und $M_2$} ($M_1 \cap M_2=M_3$), ist $M_3=M_1 \cap M_2=M_1 \setminus(M_1 \setminus M_2)$, bzw. im Durchschnitt $M_3$ ist die Anzahl eines Elementes gleich der minimalen Anzahl des gleichen Elementes in den Multimengen $M_1$ und $M_2$.
\end{Def}

\begin{Def}
Die \textbf{Teilmengenbeziehung zweier Multimenge $M_1$ und $M_2$} ($M_1 \subseteq M_2$) ist definiert durch $M_1 \subseteq M_2 \Leftrightarrow ((M_2 \setminus M_1) \cup M_1= M_2)$ , bzw. alle Elemente der Multimenge $M_1$ kommen mindestens in der gleichen Anzahl in der Multimenge $M_2$ vor. 
\end{Def}

\begin{Def}
Die \textbf{echte Teilmengenbeziehung zweier Multimenge $M_1$ und $M_2$} ($M_1 \subset M_2$) ist definiert durch $(M_1 \subseteq M_2) \wedge (M_1 \neq M_2) \Leftrightarrow (M_1 \subset M_2)$ . 
\end{Def}

\begin{Def}
Der \textbf{Betrag} einer Multimenge $M$ ($\left| M\right|$) ist die Summe der Anzahlen in der die Elemente enthalten sind.
\end{Def}
